1. Первообразная и ее свойства

Первообразной для функции f называется такая функция F, производная которой равна данной функции.

Иными словами, равенство F' = f можно прочесть двумя способами: f – производная функции F или F – первообразная для функции f. Для обозначения первообразной традиционно используют знак неопределенного интеграла, т. е. интеграла без указания пределов интегрирования:

2. Свойства первообразной.

Перечислим свойства первообразной.

1. Если F– первообразная для функции f, то F + С, где С – константа, также является первообразной для той же функции. Действительно, (F + С)' = F' + С ' = f + 0 = f.

2. Если F1 и F2 – две первообразные для одной и той же функции f, то они отличаются на постоянное слагаемое.

Действительно, если F1' = f и F2' = f, то (F1 - F2)' = F1 ' – F2' = f - f = 0. Функция, производная которой тождественно равна нулю, является постоянной. Итак, F1 – F2 = С.

Таким образом, все первообразные для функции f получаются из одной из них прибавлением к ней произвольной постоянной. Надо помнить, что знак является «неопределенным» в том смысле, что он обозначает какую-нибудь первообразную.

3.

Действительно, пусть F и G – первообразные для функций f и g соответственно. Тогда F + G является первообразной для функции f + g: (F + G)' = F' + G' =f + g.

4.

Доказывается аналогично.

5. Линейная замена переменной.

Теорема. Пусть F – первообразная для функции f. Тогда

Действительно, вычислим производную от F(kx + b): (F(kx + b))' = kF '(kx + b) = kf (kx + b).

Отсюда F (kx + b) является первообразной для функции kf (kx + b).

3. Таблица интегралов.

2.Неопределенный интеграл и его свойства

Функция F(x) называется первообразной функции f(x), если

Множество всех первообразных некоторой функции f(x) называется неопределенным интегралом функции f(x) и обозначается как

Таким образом, если F - некоторая частная первообразная, то справедливо выражение

где С - произвольная постоянная.

Свойства неопределенного интеграла

В приведенных ниже формулах f и g - функции переменной x, F - первообразная функции f,

а, k, C - постоянные величины.

4.Замена переменной в неопределенном интеграле

Пусть требуется найти интеграл , где функция непрерывна на некотором интервале . Сделаем замену переменной в подынтегральном выражении, положив , где - функция непрерывно дифференцируемая на некотором интервале T и имеющая обратную функцию

(1)

определенную на . Так как , получим

2)

то есть, вычисление исходного интеграла сводится к вычислению интеграла , стоящего в правой части равенства (2.). По окончании вычислений необходимо вернуться к переменной пользуясь равенством (1).

Замечание 1.

Часто целесообразно подобрать замену переменной не в виде , а в виде