Прямая и плоскость

ПП 6.№15. Найдите точку пересечения прямой и плоскости

Решение: Для определения координат точки пересечения запишем уравнения прямой L в параметрическом виде: . Подставляя эти выражения в уравнение плоскости Р, получим уравнение для определения значения параметра t, соответствующего точке их пересечения:

следовательно, координаты искомой точки

ОТВЕТ: (2,-3,6).

ПП 6.№16.

6.16.1). Составьте уравнение плоскости Р, проходящей через данную прямую L и точку , если прямая задана параметрическими уравнениями.

6.16.2). Составьте уравнение плоскости, проходящей через прямую параллельно прямой

6.16.3). Составьте уравнение плоскости Р, проходящей через прямую перпендикулярно к плоскости

Решение:

6.16.1). Перейдем к каноническим уравнениям прямой . Чтобы записать уравнение пучка плоскостей, проходящих через прямую L, и выбрать из него искомую плоскость, проходящую через точку , составим уравнение прямой L в виде ее проекций на плоскости xoy и xoz. Из канонических уравнений получим

Уравнение пучка плоскостей через прямую L имеет вид:

Так как плоскость проходит через точку , подставим ее координаты в уравнение пучка плоскостей и найдем значение , определяющее искомую плоскость , и уравнение плоскости Р будет иметь вид:

ОТВЕТ:

6.16.2). Запишем уравнение пучка плоскостей, проходящих через прямую :

Выберем из всех плоскостей с нормальными векторами ту, которая параллельна направляющему вектору прямой , равному . Нормальный вектор плоскости , перпендикулярен и удовлетворяет условию :

. Из этого уравнения находим значение , при котором уравнение искомой плоскости принимает вид:

.

ОТВЕТ: .

6.16.3). Уравнение прямой L в проекциях:

Уравнение пучка плоскостей, проходящих через прямую L, имеет вид:

с общим нормальным вектором , зависящим от параметра .

Условие перпендикулярности искомой плоскости и плоскости с имеет вид: и дает значение , при котором получается уравнение плоскости Р в виде

ОТВЕТ:

ПП 6.№17.

6.17.1). Найдите уравнения проекции прямой на плоскость

6.17.2). Найдите проекцию точки на плоскость

6.17.3). Найдите проекцию точки на прямую

6.17.4). Найдите расстояние от точки до прямой

6.17.5). Запишите уравнение перпендикуляра из точки на прямую

6.17.6). Найдите точку N , симметричную точке относительно прямой

Решение:

6.17.1). Запишем уравнение пучка плоскостей, проходящих через прямую L, уравнение которой в проекциях имеет вид:

Плоскость из этого пучка, проектирующая эту прямую L на плоскость Р, определится из условия перпендикулярности этих плоскостей с нормальными векторами откуда

При этом значении получаем уравнение проектирующей плоскости , а проекцией прямой L на плоскость Р будет линия пересечения двух плоскостей

или в каноническом виде:

ОТВЕТ:

6.17.2). Проекцией точки M на плоскость Р будет точка пересечения прямой L, проходящей через точку М перпендикулярно к плоскости Р. Уравнение перпендикуляра через точку М будет иметь вид:

и координаты проекции найдем, подставив

в уравнение плоскости Р:

ОТВЕТ: (1,4,-7).

6.17.3). Уравнение плоскости Р, перпендикулярной к прямой L и проходящей через точку M , имеет вид:

координаты точки пересечения этой плоскости с прямой находим из уравнения . Координаты точки пересечения прямой и плоскости дадут координаты проекции точки М на плоскость

ОТВЕТ:

6.17.4). Искомое расстояние равно расстоянию между точкой и ее проекцией на прямую – точкой координаты которой найдены в задаче 8.17.3):

ОТВЕТ:

6.17.5). Из предыдущей задачи 8.17.3) мы знаем, что прямая проходит через точку и точку

Уравнение перпендикуляра из точки на прямую

Запишем как уравнение прямой, проходящей через две точки М и О:

.

ОТВЕТ: .

6.17.6). Для того чтобы найти координаты точки N, заметим, что точка О делит отрезок MN пополам и

ОТВЕТ:

ПП 6.№18.

6.18.1). Найдите расстояние от точки до плоскости

6.18.2). Найдите координаты точки N, симметричной точке

относительно плоскости

Решение:

6.18.1). Уравнение прямой, проходящей через точку , перпендикулярно к плоскости Р, можно записать в виде

Проекцию точки М на плоскость Р находим как точку пересечения прямой и плоскости откуда

Искомое расстояние

ОТВЕТ:

6.18.2). аналогично и

ОТВЕТ:

ПП 6.№19. Определите расстояние между параллельными прямыми

и

Решение: Проекцию точки на прямую найдем как

точку пересечения прямой и плоскости Р, перпендикулярной этим прямым и проходящей через точку :

Из подстановки откуда и проекция

Расстояние между точками и О равно .

Можно поступить иначе.

Точки , ; - направляющий вектор обеих прямых.

ОТВЕТ: 3.

ПП 6.№20.

6.20.1). Найдите расстояние между скрещивающимися прямыми

и

6.20.2). Напишите уравнения общего перпендикуляра L к прямым и .

Решение:

6.20.1). Уравнение плоскости , проходящей через прямую

параллельно прямой , запишем как уравнение плоскости, проходящей через точку с нормальным вектором

.

Расстояние от точки , принадлежащей прямой , до плоскости найдем, приведя уравнение к нормальному виду:

Эта задача может быть сформулирована как задача о нахождении расстояния между двумя параллельными плоскостями и , содержащими две прямые и соответственно.

Тогда расстояние между и равно абсолютной величине проекции вектора на направление вектора

Здесь

О ТВЕТ:

6.20.2). Рассмотрим плоскости и , проходящие, соответственно, через прямые и перпендикулярно плоскости из задачи 8.20.1).

Имеем: откуда

Аналогично и

Общим перпендикуляром к прямым и является прямая L, являющаяся линией пересечения плоскостей и , которую можно записать общими уравнениями:

ОТВЕТ: