Прийняття операційних рішень в умовах невизначеності і ризику

8.1. Поняття корисності

В теорії прийняття рішень важливе місце займають положення теорії корисності. Загально визнаною проблемою в теорії корисності є ланцюг процедур поведінки керівника, його суб'єктивна оцінка імовірності настання події і його корисності. Корисність в даній теорії використовується для заміни кількісного виразу очікуваного результату тієї або іншої стратегії, оскільки його не можна передбачити. Термін корисність сприймається як важливість кінцевого варіанту рішень, яку можна оцінити формально, наприклад, як оцінку пріоритетів альтернатив рішень.

Втрати або виграш можуть оцінюватися як кількісно (наприклад, через витрати різного виду ресурсів), так і якісно (втрата авторитету, престижу, іміджу фірми, втрати часу, погіршення соціально-психологічного клімату в колективі і ін.).

Корисність сприймається як інтегрований показник, що узагальнено виражає втрати або виграш, коли всі цінності зведені до однієї шкали. Для певної події вона буде відповідати якійсь точці на цій шкалі, при тому, шкала корисності визначається логікою менеджера, його висновками і перевагою. Тобто від експерта-менеджера залежить обраний критерій оцінки рішення. З цього приводу заздалегідь будується матриця (таблиця) рішень на основі логічних міркувань.

Вимірність корисності надається у довільних одиницях, які звуться одиницями корисності. Ці виміри можуть бути пов'язані з грошовими одиницями і означати для людини, що приймає рішення (ЛПР) величину конкретної корисності. В умовах ризику ЛПР завжди обирає варіант, що максимізує величину показника корисності.

Отже, теорія корисності будується на допущенні, що деяке число V(P), означає корисність події, яка може відбутися. Якщо, наприклад, подія P₁, може принести прибуток фірмі у розмірі 200 тис. грн., а подія P₂ - 100 тис. грн., то VP₁ > VP₂.

Сутність теорії корисності розглянемо на прикладі найпростішої виробничої ситуації. В період настання календарних строків захисту культур від шкідливих організмів агро-менеджер завжди замислюється чи починати в конкретний день ці міроприємства, чи ні. Справа в тому, що можливість опадів в цей день – це об'єктивні умови зовнішнього середовища. Можливі два варіанти рішень: починати захист (А₁) і не починати (А₂). На вибір агронома впливатимуть зовнішні умови: будуть опади у найближчі часи (Y₁) або ні (Y₂). Припустимо, агро-менеджер вважає, що імовірність опадів у продовж дня - pY₁ = 0,5, в такому разі імовірність погоди без дощу 1- 0,5 = 0,5 (pY₂). В подальшому слід надати оцінку можливим втратам, які реально можна мати за варіатами рішень і впливу погодних умов. Оцінки можуть мати значні розбіжності, але у ЛПР є власний досвід, інтуіція і, нарешті, усереднена думка, що базується на цих факторах.

Щоб мінімізувати можливі втрати, в нашому випадку необхідно зупинити вибір на лінії поведінки A₂, тобто обрати найбільшу імовірність відстутності дощу і починати захисні міроприємства.

В розвиток даної теорії пропонується менеджерам при виборі рішень виходити із максимуму очікуваної користі, використовуючи для розрахунку такі співвідношення: D = (P_d ∙O_d) – (P₀ ∙ W_н),

де: D - очікувана користь;

P_d - імовірність успіху;

О_d - оцінка успіху;

P₀ - імовірність невдачі;

W_н - втрати від невдачі.

Інформація і умови прийняття економічних рішень

Інформація як ресурс в системі прийняття рішень оцінюється за об'ємом, достовірністю, цінністю і насиченістю. Об'єм управлінської інформації характеризує повноту інформації про будь-який об'єкт управління для ухвалення обгрунтованого рішення. Він має три рівні: інформаційну надмірність, субмінімальний рівень і інформаційну недостатність. Достовірність інформації визначається співвідношенням (у %) реальних відомостей і загального об'єму інформації. Достовірність має також три рівні: абсолютний (100%), довірчий (більше 80%) і негативний (менше 80%). Цінність інформації виявляється в зниженні рівня витрат ресурсів (матеріалів, часу, грошей) на ухвалення правильного рішення. При цьому вимір цінності інформації має нульовий рівень, середній (наприклад, скорочення рівня витрат або підвищення прибутку більш ніж на 10%), високий (скорочення рівня витрат більш ніж в 2 рази) і надвисокий (скорочення рівня більш ніж в 10 разів). Показник цінності є характеристикою інформації.

Відомо, що за критерієм характеристик інформаційних масивів рішення приймаються в умовах: визначеності, невизначеності (ненадійності) і ризику (визначеності імовірності) .

Якщо рішення приймається в умовах визначеності (достовірності), то збільшується оперативність процесу, зменшуються витрати на вибір більш доцільного варіанту. Перевага подібної ситуації в тому, що всі змінні для розрахунків вводяться самим суб'єктом управління при одному і тому ж

стані об'єктивних умов (об'єкту). В цьому випадку відкривається можливість поширеного використання кількісних методів і ЕОМ. Керівник з достатнім ступенем точності припускає результат кожного із наявних альтернатив рішень. В практичній роботі типовими є випадки коли повна визначеність ситуації відсутня. В такому разі виділяють її елементи із загального контексту за ступенем їх визначеності. Якщо рішення ухвалюється в умовах ризику (вимірної невизначеності), то за допомогою введення оцінок імовірності невизначеність значною мірою зменшується. Коливання змінних, які характеризують стан об'єктивних умов, можуть бути передбачені (на основі визначення імовірності). Ризик полягає в можливих помилках при оцінці ступеня імовірності настання умов (подій). Тому покладаються не лише на розрахунки, використовуються також досвід, інтуїція і мистецтво ЛПР. Ці якості особливо необхідні при розробці рішень в умовах операційної невизначеності, коли встановити імовірність настання подій і потенційних результатів неможливо.

Ризик - це можливість небезпеки, невдачі і придбань, виграшу в прогнозі результату. Спрймати ризик слід як природний елемент в діяльності будь-якої людини, який розширює уявлення ЛПР про навколишній світ. Тобто у загальному сенсі з ризиком зв'язані процеси розвитку - як прогрес, так і регрес. Як правило, ризик оцінюють в усіх аспектах операційної діяльності (виробничій, управлінській, інвестиційній, кредитній і ринковій). Таким чином, ризик операційної діяльності ( управлінський) є частиною більш широкого набору ризиків і його слід розглядати по всьому ланцюжку операційної діяльності (розробки і реалізації продукту, процесу). Ризик визначає співвідношення двох полярних результатів: негативного (повний зрив запланованого) і позитивного (досягнення запланованого).

Різновидів ризиків множина. Невипадково, що великі фірми розвинених країн вводять посаду менеджера по ризикам, який самостійно або у взаємодії з фахівцями по маркетингу, кадрам, техніки безпеки знаходить вихід з ризикових ситуацій. Різноманіття ризиків класифікується по ряду ознак. В операційній діяльності завжди присутні:

Виробничий ризик виникає у сфері виробництва продукції, товарів, послуг і виконуваних робіт (проектно-конструкторських, прогнозних). Причини ризику можуть бути пов'язані з освоєнням нового виробничого проекту, технологій, збільшенням собівартості продукції, зниженням або різким зростанням об'єму виробництва.

Комерційний ризик може з'явитися в результаті зниження рівня продажів на ринку, підвищення тарифів на перевезення вантажів, коливань валютного курсу, приймання товарів покупцем, зростання витрат обігу, відсутності платежів від покупців товарів.

Фінансовий ризик виникає у взаєминах підприємств з банками. Події останніх років в банківській системі нашої країни підкреслюють актуальність обліку даного виду ризику. Він залежить від рівня позикових засобів підприємства по відношенню до власних активів.

Політичні ризики пов'язані із забороною на імпорт в країни покупця, проведенням страйків в період транспортування вантажу, конвертованістю валют, або встановленням заборони на обмін грошей і т.ін. Вельми різноманітні ризики при проведенні підприємством інвестиційної політики. Ризик інвестиційних рішень з'являється в результаті таких небажаних явищ, як інфляція, необхідності дисконтування вкладених сум.

Ризик організації - втрата доходів як результат погіршення її економічного стану. Операційний ризик найчастіше пов'язаний з підвищенням наднормативної вартості процедур створення продукту, проекту, технологічних дій, як результат не ефективності операцій.

Залежно від імовірності втрат і впливу на фінансове положення підприємства відризняють наступні рівні ризиків: найбільш імовірні (НІ), припустимі (П_р), критичні (K_р), катастрофічні (К_а).

Ризикова ситуація складається з частинних ризиків окремих операційних дій. В цьому випадку оцінка приватного ризику є нормативною ставкою (мінімальною), скореговану на зниження або збільшення фактичного ризику R_i = r_i ± А, а оцінка комплексного ризику складається з суми приватних ризиків R = ∑ r_i .

Невизначеність виявляється в параметрах інформації на всіх стадіях її обробки. Цей показник важко вимірюється, звичайно невизначеність оцінюють якісно, типу „більше” або „менше”, „вище” або „нижче”. Рідше вона оцінюється у відсотках, наприклад, невизначеність інформації складає 30%, невизначеність розробленого рішення складає 10% (при цьому допускається великий розкид ± 10, тобто діапазон 0 - 20% вважається прийнятним).

Практикою вироблена певна тактика поведінки при ухваленні ризикованих рішень. Вона полягає у вмінні обирати такий комплекс дій, який наближав би до успіху.

В кожній ситуації керівник зважує можливий виграш і програш (результат, наслідки прийняття рішення). Якщо імовірність і величина виграшу велика, швидше за все буде прийнято рішення, пов'язане з ризиком. У випадках, коли небезпека втрат значна, переважає рішення, що обіцяє мінімальний ризик. При цьому різні варіанти рішення прораховуються, порівнюються між собою за багатьма параметрами.

В процесі аналізу альтернативних рішень проводиться оцінка ступеню ризику. Процедура передбачає встановлення:

- кількісного значення імовірності настання події;

- розміру наслідків ризику;

- припустимого рівня ризику;

Тим самим з'являється інформація, що необхідна для управління ризиком в конкретній ситуації.

Наслідки ризику оцінюються шляхом підрахунку втрат, пов'язаних із зробленою процедурою.

Ступінь ризику може бути визначена різними засобами: за допомогою методів теорії імовірності, на основі статистичних і експертних підходів .

Для визначення ступеня ризику, наприклад, найбільш поширеним в операційному менеджменті, статистичним методом , заздалегідь аналізується статистика втрат і прибутків, що мали місце в минулі періоді. Шляхом встановлення величини і частоти отримання позитивного результату визначається прогноз (див розд.1). Даний спосіб розрахунку ступеня ризику грунтується на значній інформаційній базі, яка може бути відсутня в організації. В подібних випадках або «здобувають» додаткову інформацію (це пов'язано з додатковими витратами), або використовують інші методи.

Поняття ступінь ризику має кількісну оцінку і визначається як комплекс ймовірності невдачі і гаданої величини витрат: C_R = P_н ∙Q

де: С_R - ступінь ризику;

P_н - ймовірість настання невдалої події;

Q – об’єм втрат.

Оцінка ступеня ризику на основі досвіду експертів припускає попередній підбір досвідчених фахівців, які встановлюють імовірність і величину втрат, або імовірність припустимого і критичного ризику, або величину потенційних втрат.

З наведених підходів найбільш прийнятним для практики ухвалення рішень є поєднання статистичного і експертного методів розрахунку ризику.

Матеріали для практичних занять і самоперевірки знань

Приклади і задачі з рішеннями

Задача 8.1.1А

Підприємство виробляє 400 електроплит в місяць і реалізує їх за ціною 2500 грн. Змінні витрати складають 1500 грн. на виріб, постійні витрати підприємства - 350 000 грн. в місяць.

Показник	На одиницю продукції, грн.	%	в частках одиниці
Ціна реалізації	2500	100	1
Змінні витрати	1500	60	0,6
Валова маржа	1000	40	0,4

1. Начальник відділу маркетингу вважає, що збільшення витрат на рекламу на 10 000 грн. в місяць здатне дати приріст щомісячної виручки на 30 000 грн. Чи слід ухвалювати рішення про збільшення рекламного бюджету?

2. Заступник генерального директора по виробництву пропонує використовувати більш дешеві матеріали, що дозволить заощадити на змінних витратах до 250 грн. на кожній одиниці продукції. Проте, на думку начальника відділу збуту, це може привести до зниження якості і падіння об'єму реалізації до 350 виробів за місяць. Чи слід застосовувати більш дешеві матеріали?

3. Начальник відділу маркетингу пропонує знизити ціну реалізації на 200 грн. і одночасно довести витрати на рекламу до 150 000 грн. в місяць. В цьому, випадку він прогнозує збільшення об'єму продажів на 50%. Чи можна схвалити таке рішення?

4. Начальник відділу збуту пропонує змінити форму оплати праці своїх співробітників: відмінити ставки (сумарна місячна фундація оплати складає 60000 грн.) і встановити комісійну винагороду 150 грн. з кожного реалізованого виробу. Він упевнений, що об'єм продажів в такому разі зросте на 15%. Чи слід погодитися із запропонованим рішенням?

Уявіть себе у ролі генерального директора і дайте аргументовані відповіді на існуючі пропозиції підлеглих.

Рішення.

1. Відповідь на перше питання не вимагає будь - якого, попереднього аналізу. Достатньо скористатися простою логікою: якщо приріст виручки вище приросту витрат, то прибуток збільшується. У нашому випадку, оскільки збільшення виручки (30 000 грн.) перевищує приріст витрат на рекламу (10 000 грн.), то рішення про збільшення рекламного бюджету слід ухвалити.

2. При переході на більш дешеві матеріали валова маржа (різниця між ціною і змінними витратами) на одиницю продукції зросте з 1000 до 1250 грн. З розрахунку на об'єм реалізації 350 виробів в місяць це складе 1250∙ 350 = 437500 грн. в порівнянні з нинішніми 1000∙400 = 400 000 грн. Таким чином, пропозиція про використання більш дешевих матеріалів, дає приріст сумарної валової маржі (і прибутку) у розмірі 37 500 грн. Тому його слід прийняти.

3. Зниження ціни реалізації на 200 грн. приведе до зменшення валової маржі на одиницю продукції до 800 грн. Сумарна валова маржа з урахуванням зростання реалізації складе: 800 ∙ 400 ∙ 1,5 = 480000 грн., що на 80000 грн. більше нинішнього показника. Проте доведення витрат на рекламу до 150 000 грн. в місяць не тільки зменшить отриманий приріст, але і зменшить прибуток на 70 000 грн. Тому дане рішення слід відхилювати.

4. Перехід співробітників відділу збуту на нові умови оплати праці поміняє як змінні, так і постійні витрати. Постійні знизяться (350000 - 60 000) до 290 000 грн. Змінні витрати зростуть (1500 + 150) до 1650 грн. на одну плиту, а валова маржа на одиницю продукції зменшиться з 1000 до 850 грн. Збут при цьому збільшується на 15% і сумарна валова маржа складе 850 ∙ 400 ∙ 1,15 = 391000 грн., тобто зменшиться на 9000 грн. Проте це зменшення перекриється зниженням постійних витрат на 60 000 грн. і зростання прибутку складе 60000 - 9000 = 51 000 грн. Отже, слід погодитися з рішенням про зміну умов оплати праці.

Задача 8.1.2А

Підприємство шиє сорочки і брюки. В прогнозованому періоді може бути відпрацьовано 2000 людино-годин, при цьому за одну людино-годину можна зшити або одну сорочку, або три пари штанів. Економічні показники виробництва і реалізації наведені в таблиці.

Слід визначити, якому з товарів (сорочки або штани) слід віддати перевагу, ухвалюючи рішення про формування виробничої програми підприємства?

Показник	Сорочка	Штани
Ціна реалізації, грн..	150	200
Змінні витрати на од. продукції, грн.	60	160
Валова маржа на од. продукції, грн.	90	40
Коефіцієнт валової маржі на од. продукції	0,6	0,2

Рішення:

Відповідь на поставлене питання залежить від того, який товар принесе підприємству найбільшу суму валової маржі, а значить і прибутку.

Якщо судити по коефіцієнту валової маржі на один виріб, то сорочки - більш вигідний для підприємства товар. Проте з урахуванням трудомісткості виробів за кожну людино-годину буде проведено валової маржі: на сорочках- 90 ∙1= 90 грн., на штанах - 40 ∙3 = 120 грн.

Відповідно, за 2000 людино-годин роботи підприємство зможе отримати 180 000 грн. валової маржі, якщо випускатиме сорочки, і 240 000 грн. - за умови пошиття штанів. Отже, в якості найбільш переважної альтернативи рішення (зрозуміло, за наявності ринку збуту) слід обрати пошиття штанів.

Задача 8.1.3А

Фінансовий директор організації має нагоду отримати кредит банку на закупівлю обладнання під відсотки на рівні 45% річних. Одночасно він одержує пропозицію отримати обладнання по лізингу на наступних умовах:

• вартість об'єкту лізингу - 36000 грн.;

• період повної амортизації - один рік, рівномірно по місяцях;

• щомісячні відрахування з урахуванням комісійних по лізингу (12%), кредитних, консультаційних і інших послуг складуть 5% від залишкової вартості обладнання.

Який варіант рішення повинен обрати менеджер з фінасів?

Рішення:

Для відповіді на це питання необхідно скласти графік лізингових платежів і визначити загальну суму витрат по лізингу (табл..8.1).

Таблиця 8.1. Економічні параметри

Місяць	Залишкова вартість на початок місяця	Амортизаційні відрахування	Вартість послуг	Лізингові платижі
1	2	3	4	5(3 + 4)
1	36000	3000	1800	4800
2	33000	3000	1650	4650
3	30000	3000	1500	4500
4	27000	3000	1350	4350
5	24000	3000	1200	4200
6	21000	3000	1050	4050
7	18000	3000	900	3900
8	15000	3000	750	3750
9	12000	3000	600	3600
10	9000	3000	450	3450
П р о д о в а ж е н н я т а б л и ц і 8.1
11	6000	3000	300	3300
12	3000	3000	150	3150
Разом		36000	11700	47700

Таким чином, за увесь період дії договору лізингу, що передбачає повну фінансову амортизацію устаткування протягом одного року, витрати лізингоотримувача склали б 47700 грн., при цьому на частку кредитних і інших послуг прийшлося 11700 грн., що складає 32,5% вартості об'єкту лізингу і істотно менше за відсотки за кредит (45%). Природно, за таких умов слід вибрати рішення про укладення договору лізингу(табл..8.1).

Ухвалення управлінського рішення дуже часто вимагає обліку чинника ризику і, зокрема, визначення імовірності банкрутства.

Імовірність банкрутства прогнозується, як правило, за допомогою аналізу коефіцієнта поточної ліквідності (КПЛ) і коефіцієнта забезпеченості власними засобами (КЗВЗ), значення яких, розраховані на основі даних бухгалтерського балансу, не повинні бути менше критичних (2,0 і 0,1 відповідно). Крім того, достатньо високу точність прогнозу імовірності банкрутства забезпечує наступна модель: Z=0,3977+(-1,0736)* КПЛ+0,579* (Питома вага позикових засобів в пасивах), де: Z > 0 - імовірність банкрутства значна; Z < 0 - вірогідність банкрутства незначна.

Задача 8.1.4А

Виробничий директор підприємства, що випускає електро-устаткування, вирішує питання: виробляти комплектуючі деталі, потреба в яких складає 25000 одиниць, самостійно, використовуючи вільне устаткування, або купувати їх на стороні за ціною 37 грн. за одиницю? Якщо буде ухвалено рішення про організацію самостійного виробництва комплектуючих, то собівартість одиниці складе 50 грн.

Якщо підприємство придбає необхідні деталі на стороні, воно зможе уникнути змінних витрат в сумі 750000 грн. і понизити постійні витрати на 100000 грн. Основні економічні показники діяоьності підприємства наведені в табл. 8.2.

Таблиця 8.2. Матеріал для розрахунку

Показники	Грн.
Матеріали	400000
Пряма заробітна платня	200000
Змінні невигідні витрати	150000
Постійні витрати	500000
Разом, виробнича собівартість .	1250000
Виробнича собівартість виробу	50

Потрібно проаналізувати ситуацію і вибрати найбільш корисний для підприємства варіант рішення.

Варіант А. Виготовляти деталі самостійно.

Варіант Б. Придбати деталі на стороні і не використовувати устаткування, що вивільниться.

Варіант В. Придбати деталі на стороні і використовувати устаткування, що вивільниться, для виробництва іншої продукції, що може принести прибуток в сумі 180 000 грн.

Рішення:

1. У разі вибору альтернативи А собівартість самостійно виготовленої деталі складе за умовою завдання 50 грн.

2. При виборі альтернативи Б, купівельна ціна деталі дорівнює 37 грн. Проте було б помилкою вважати що собівартість придбання деталі співпадає з її купувальною ціною. Річ у тому, що, придбавши комплектуючі на стороні, підприємство не ліквідовує повністю, а лише скорочує постійні витрати, що доводяться на них. Тому собівартість придбання деталі складе: {37 грн. + (500 000 грн. - 100 000 грн.) / 25 000} = 53 грн., що на 3 грн. дорожче за самостійне виготовлення. Таким чином, підприємству вигідніше проводити комплектуючі деталі самостійно. Проте, оскільки є ще і задача раціонального використовування устаткування, питання не можна вважати вирішеним.

3. Альтернатива В забезпечить підприємству виробничу собівартість 45,8 грн. - {53 грн.- (180000 грн./ 25 000)} = 45,8 грн. і виявиться найвигіднішою.

Висновок: варіант В слід визнати якнайкращим для підприємства.

Проте, роблячи такий висновок, необхідно мати на увазі, що не враховані ще багато які чинники, здатні вплинути на остаточне рішення. Так, наприклад, керівник відділу контролю якості може виразити сумнів як купувальних деталей і цей довід переважить розрахунки собівартості. Якщо служба маркетингу не гарантує прийнятного збуту нового виробу, тоді варіант В можна не розглядати. В той же час технологічний відділ може вказати на екологічні наслідки власного виробництва комплектуючих. Ухвалюючи остаточне рішення, керівник повинен ураховувати всю сукупність кількісних і якісних чинників.

Задача 8.1.5А

Менеджеру потрібно прийняти рішення о доцільності закупівлі обладнання М-1 або М-2. Обладнання М - 2 більш економічне, що забезпечує більший прибуток на одиницю продукції. Розом з тим його купівельна вартість більша і він потребує більших накладних витрат.

Обладнан- ня	Постійні витрати	Операційний дохід на одиницю прдукції
М-1	15000	20
М-2	21000	24

Етапи рішення задачі:

Етап 1. Визначення мети

Етап 2. Визначення набору можливих дій для вивчення і аналізу (контролюються ЛПР). Менеджер може обрати один із двох варіантів:

а) купувати обладнаня М-1; б) купівля обладнаня М-2.

Етап 3. Оцінка можливих ісходів і їх ймовірностей.

Менеджер оцінює можливі варіанти річного попиту на продукцію і відповідні до них ймовірності таким чином:

Х₁ = 1200 одиниць із ймовірністю 0,4;

Х₂ = 2000 одиниць із ймовірністю 0,6.

Етап 4 . Оцінка математичного очікуваня можливих доходів.

Рисунок 8.1 Дерево рішень

Е(dA) = 9000*0.4+25000*0.6 = 18600

E(dВ) = 7800*0.4+27000*0.6 = 19320

Таким чином, варіант купівлі обладнання М - 2 більш привабливий.

Задача 8.1.6А

Потужність за останні 6 років склалася таким чином:

Рік	1	2	3	4	5	6	7
Потужність	115	120	118	124	123	130	?

Яка потужність очікується на сьомому році? Скористайтеся лінійною функцією y = a + dx і інструментарієм у вигляді Excel.

Рік	Перенумерований рік	Потужність-У	Х^2	ХУ
1	-2.5	115	6,25	-287,5
2	-1,5	120	2,25	-180
3	-0,5	118	0,25	-59
4	0,5	124	0,25	62
5	1,5	123	2,25	184,5
6	2,5	130	6.25	325

Рішення: ; ; ; ;

b= ; ; a = ; .

На сьомий рік будемо мати потужність: Y=121,67+(2,57·3,5)=131. Зробіть аналіз методу і пропозиції щодо його використання.

Задачі із відповідями

Задача 8.1.1В

Вносимо до банку щороку 6000 грн у перебігу п'яти наступних років. Яка поточна вартість цих внесків при ставці 10% .

Значення факторів для 10% і п'яти років = 3,79 (3,79=0,909+0,826+0,751+0,683). Зробіть висновки (поточна вартість = (3,79)·(6000)=22,740.

Задача 8.1.2В

Інвестиції будуть надані у розмірі 1000 грн. за 2 роки опісля поточного. Яка їх вартість сьогодні, якщо відсоткова ставка = 9%.

Відповідь: NPV=842,0.

Задача 8.1.3В

Яка вартість 5600 грн. при ставці 8%, якщо вони будуть повернені через 12 років.

Відповідь: NPV=2223,2

Задача 8.1.4В

Банк фінансує два об’єкти інвестування з однаковою прогнозною сумою потрібних капітальних вкладень. Розмірність доходу, що планується у кожному випадку не визначено і надається у вигляді ймовірностей

Проект А		Проект В
Прибуток	Ймовірність	Прибуток	Ймовірність
3000	0,10	2000	0,10
3500	0,20	3000	0,20
4000	0,40	4000	0,35
4500	0,20	5000	0,25
5000	0,10	8000	0,10

Математичне очікування доходів для наведених проектів буте відповідно таким:

У(dA) = 0,10∙3000 +…+0,10· 5000 = 4000

У(dB) = 0,10 ·2000+…+0,10·8000 = 4250

Таким чином, проект В переважає. Слід зауважити при цьому, що цей проект є і відносно більш ризикованим, оскільки має більшу варіацію відносно проекту А (розмах варіації проекту А = 2000, проекту В =6000).