8.2.2. Формалізовані алгоритми теорії ігор в менеджменті і маркетингу

Формально у спрощенному вигляді задачу із двома гравцями можна записати таким чином. Означимо, що Р* і Q* - стратегія 1 і 2 – го гравця (оптимальні стратегії); V – ціна гри, якщо для будь-яких стратегій Р першого гравця і Q другого виконується нерівність: М (Р,Q) V М (Р*, Q*), (8.6), де: М (Р,Q) – математичне очікування виграшу першого гравця, якщо 1-м і 2-м гравцем вибрані стратегії Р і Q. З нерівності (8.6) витікає, що V = М (Р*,Q*) – ціна гри дорівнює математичному очікуванню виграшу першого гравця, якщо обидва оберуть оптимальні для себе стратегії.

Підкреслимо, що задачі теорії ігор відносять до проблем прийняття рішень в умовах невизначенності і специфіка цих задач складається із того, що невизначенність виникає із дій двох або більшої кількості супротивників. Тобто теорію ігрор можна вважати математичною теорією конфліктних ситуацій. Гра буває парна (перехрещуються інтереси двох осіб) і множинна (декілька супротивників), з нескінченною множиною. Основним питанням у задачах із колективним обранням рішень є питання щодо визначення оптимальності.

Оптимальна стратегія. Кожний суб'єкт k характеризується індивідуальною системою цільових установ і стратегій , тобто можливих варіантів. Досить поширений спосіб математичного опису гри – це задання функцій , кожна з яких визначає результат (платіж, виграш), що отримується k – м гравцем в залежності від набору стратегій , що застосовується усіма гравцями. Функції також звуться функціями виграша, або платіжними функціями. В такому випадку, якщо для будь-яких S , гра зветься грою із нульовою точкою.

Матричні ігри. Такими звуться парні антогоністичні ігри з нульовою сумою (один виграє стільки скільки інший програє) при умові, що кожний гравець має кінцеве число стратегій. В цьому випадку парна гра задається матрицею А=(а_іj), елементи якої а_іj визначають виграш 1-го гравця (відповідно програш другого), якщо 1-й гравець вибирає і–у стратегію (і = ) а другий обирає j–у ( j = ) .

Приклад побудови платіжної матриці: Хай, на базі фірми є n типів товарів асортиментного мінімуму. В магазин фірми повинен бути завезений тільки один з цих типів. Якщо товар типу j(j = ) буде користуватися попитом, то магазин від реалізації отримає прибуток Р_j; якщо не буде попиту, то витрати на його зберігання будуть q_j. Потрібно обрати тип товару, який буде доцільним завозити .

Припустимо, що перший гравець - ринок, другий – попит.

Кожний з гравців має n стратегій. Постачанння і–го товару, це і–а стратегія першого гравця, попит на j–й товар, це j–я стратегія другого гравця. В такому разі матриця виграшів першого гравця має вид матриці n–ного порядку. Є декілька методів рішення. Якщо матриця гри має розмірність, що дорівнює двом (у одного гравця тільки 2 стратегії), то рішення може бути отримано графічно. Розглянемо приклад коли матриця має сідлову точку.

Хай матриця у символьному і числовому зображенні має такий вигляд:

А =

Мінімальний елемент 1–го рядка (першої стратегії першого гравця) рівний 2, другий – 5, третій – 4, максимальне значення з цих величин = 5.

Мінімальний елемент першого стовпця (першої стратегії другого гравця) = 10, другого–10, третього–5, четвертого–14, п'ятого–12, мінімальне значення = 5. Отже гра має сідлову точку (2,3), і задача вирішувана в чистих стратегіях. Дотримуючись чистої другої стратегії, перший гравець забезпечує собі виграш на менше 5; другий гравець, застосовуючи чисту треттю стратегію, програє на 5 більше. Обидві стратегії і = 2 і j =3 є оптимальними для 1-го і 2-го гравця, при цьому ціна гри V = 5.

В іграх з природою рядки матриці гри відповідають стратегії гравця, а стовпці відповідно станам природи, що спунукає до прийняття рішень в умовах невизначенності. Такі задачі при пошуку оптимальних рішень у грі використовують критерії середнього виграшу, Лапласа, Вальда, Гурвіца. Надамо скорочене тлумачення сутності цих критеріїв.

Хай маємо матрицю оцінки ефективності невизначеності:

аі	nj
	n1	n2	…	nk
a1	k11	k12	…	k1k
a2	k21	k22	…	k2k
...	...	...	...	...
аm	km1	km2	…	kmk

а_i –вектор керованих параметрів (і= 1,....,m);

n_i– вектор не керуємих параметрів, які визначають стан (j = 1,..,k);

k_ij – значення ефективності системи а_ij для стану n_j ;

k(a_ij) – ефективність системи (грн.).

Критерій середнього виграшу.

Ефективність в цьому випадку відшукується як середнє очікуване значення за всіма станами: . Оптимальній системі буде відповідати ефективність - .

Найбільш поширеними критеріями вважаються:

Критерій Лапласа застосовується в умовах рівноімовірносного стану:

; .

Критерій Вальда – критерій обережного спостеригача.

Критерій гарантує визначений виграш в умовах, що є найбільш несприятливі: ;

Критерій Гурвіца – критерій узагальненого maxmina. Критерій враховує найбільші і найменші значення ефективності. Враховує відношення до ризику ЛПР через коефіцієнт α (0<α< 1). У разі α = 0 крітерій зводиться до maxmin, у разі α = 1 – до maxmax:

Графічний метод рішення задач теорії ігор

Метод можна відносити до специфіцних підходів пошуку оптимальних змішаних стратегій, де один із гравців має дві стратегії (гра 2 × n і m ×2 ).

Хай гравець 1 має можливість обирати між двома стратегіями із імовірністю х₁ і х₂=(1–х₁). В такому разі його очікувані виграші, що відповідають чистим стратегіям будуть мати вигляд: , , ...., або , , ...., . Тобто очікувані виграші можуть бути наведені у вигляді графіків лінійних функцій, що залежать від змінної , де передбачається, що гравець 2 має три стратегії.

Прямі на рис. 8.2 забражують залежності середнього виграша гравця 1 від значення імовірності х₁ з якою він обирає першу стратегію для випадків якщо його супротивник обирає першу, другу або третю чисті стратегії.

Рисунок 8.2. Графік виграшів

Значенням мінімального гарантованого доходу першого гравця в такому разі відповідає нижня огинаюча усіх трьох прямих. Відповідно до принципу максі міна точка, оптимальному вибіру гравці 1 буде відповідати найвища точка, що знаходиться на даній згинаючій – . Якщо знати її, то можна визначити оптимальну змішану стратегію першого гравця і ціну гри, що дорівнює z^*.

Виходячи із відношення двоїстості, то оптимальною стратегією першого учасника х^* однозначно визначається оптимальна стратегія його супротивника у^*. Оскільки у^* є результатом рішення задачі лінійного програмування, то він має всі властивості допустимого базисного плану, тобто у випадку 2×n гра має не більше ніж дві не нульових компоненти і не менш ніж (n – 2) нульових. Номери не нульових елементів у^* визначаються номерами ліній, перетинання яких визначило оптимальну стратегію першого гравця. Дійсно, гравець 2 знає оптимальну стратегію супротивника і застосування ним стратегій, що відповідають прямим які проходять вище за точку , лише збільшило б його програш.

У прикладі, що розглядається це прямі z₂ і z₃ і у своєї оптимальній стратегії другий гравець повинен із не нульовими імовірностями застосувати другу і третю чисті стратегії (у₂>0, у₃ >0). На цій підставі і враховуючи умови нормування можна записати у₃ = 1- у₂, і в такому разі оптимальне значення може бути визначене з умови: або . У підсумку отримуємо оптимальну стратегію гравця 2 .

Пошук рішення у грі m × 2 відбувається за таким же сценарієм але навпаки: розбутовуються графіки програша гравці 2, шо очікується і відшукується їх верхня огинаюча.

Зауважимо, що графічний метод добре ілюструє змістовий бік процесу пошуку рішення у грі.

Числовий приклад. Фірма виробляє і реалізує легкий дитячий одяг - сукню і костюми. Збут залежить від стану погоди. В умовах теплої погоди (ІV – V) можна реалізувати 600 костюмів і 1975 одиниць сукні, а при поганій – 1000 костюмів і 625 од. сукні. Витрати на одиницю продукції у продовж квітня і травня складає для костюмів 45 грн., для сукні 18 грн., а ціна реалізації дорівнює відповідно 118 грн, і 86 грн. Задача в максимізації середніх величин прибутку від реалізації продукції із врахуванням невизначенності погоди.

Служба операційного маркетингу повинна визначити оптимальну стратегію підприємства, що забезпечує середній дохід при будь-якій ситуації.

Фірма має в своєму розпорядженні дві чисті стратегії: А – розрахунок на теплу погоду і Б – на холодну. Другий гравець – природа із двома стратегіями: прохолодна - В і тепла – Г.

Якщо підприємство обере стратегію А, то у випадку прохолодної погоди (стратегія природи В) дохід складатиме: 600∙(118 - 45)+625∙(86 - 18) – 18∙(1975 - 625) = 62000 грн., а у разі теплої погоди (стратегії природи Г) дохід буде: 600∙(118 - 45)+1875∙(86 - 18) = 178100 грн.

Якщо підприємство обере стратегію В, то в умовах прохолодої погоди дохід буде: 1000·(118 - 45) + 625·(86 - 18) = 115500 грн., а в умовах теплої: 600·(118 - 45) + 625·(86 - 18) - (1000 - 600)·45 = 68300 грн.

Отже матриця гри (платіжна) виглядатиме таким чином:

Перший і другий рядки цієї матриці відповідають стратегіям А і Б фірми, а перший і другий стовпці – стратегіям В і Г природи.

Із матриці можна бачити, що перший гравець (фірма) ніколи не отримує дохід менший за 62000 грн. Однак якщо погодні умови співпадатимуть із обраною стратегією, то виграш буде 115500 грн або 178100 грн.

В такому разі фірма повинна застосувати стратегію А і Б (змішану). Оптимізація змішаної стратегії дозволяє першому гравцю завжди отримати середнє значення виграшу незалежно від стратегії другого гравця.

Хай х – частота використання першим гравцем стратегії А. В такому разі частота застосована ним стратегії Б дорівнювате (1-х). Якщо прагнути оптимізації змішаної стратегії, то перший гравець отримає і при стратегії В (холодна погода), і при стратегії Г (тепла) другого гравця однаковий середній дохід: 62000·х+115500·(1- х)=178100·х + 68300·(1–х). Звідси маємо х = 8/17; (1-х) = 9/17. Отже, перший гравець, застосовуючи чисту стратегію А і Б в співвідношенні 8:9, буде мати оптимальну змішану стратегію, що забезпечує йому у будь-якому випадку середній дохід, який дорівнюватиме: 62000· (8/17) + 115500·(9/17) = 89323 грн. Це і буде ціна гри.

Тобто, у разі оптимальної стратегії фірма повинна випускати: (600_кост.+ 1975_сукня)·0,47 + (1000_кост.+ 625_сукня)·0,53 = 812_костюм + 1260_сукня = 2072 вироби, тобто 812 костюмів і 1260 суконь, що забезпечує фірмі за будь-якої погоди середній дохід = 89323 грн

Звернемо увагу ще на одну можливість вирішення задачі прийняття рішення в умовах невизначенності.

У практиці операційного менеджменту, зокрема стосовно процедур прийняття рішень заслуговує на увагу така математична модель із сфери популярних експертних методів.

Перед усім слід визначимо термін “експерт”. За експерта матимемо людину, яку ОПР або аналітична група, що проводить експертизу, вважає професіоналом достатньо високого рівня в деякому питанні і чиї оціннки і судження з приводу об’єкту експертизи враховуються при прийнятті рішень. Під експертизою розуміють проведення групою компетентних спеціалістів виміру деяких характеристик для підготовки прийняття рішення і оцінюванням об’єктів. Оцінки бувають різних видів. Насамперед, це кількісні оцінки (наприклад, ціна товару), далі можна виділити бальні оцінки (їх вже слід віднести до якісних), також дуже розповсюджений вид оцінки – ранжування.

Під ранжуванням розуміють процедуру упорядкування об’єктів згідно з зменьшенням їх переваг. Інший метод експертного оцінювання – метод попарного порівняння – вказання переважаючого об’єкта в кожній парі об’єктів, що оцінюються.

Для отримання і обробки кількісними методами якісної експертної інформації можуть використовуватись вербально-числові шкали, до складу яких входять змістовно описувані найменування її градацій і відповідні їм числові значення або діапазони числових значень. Широке розповсюдження отримала вербально-числова шкала Харрінгтона (табл. 8.9).

Таблиця 8.9. Шкала інтенсивності критеріальної властивості.

Найменування градації	Числові інтервали
Дуже висока Висока Середня Низька Дуже низька	1,0-0,8 0,8-0,63 0,63-0,37 0,37-0,2 0,2-0,0

Питання рейтингового оцінювання більш-менш детально описано в розділі 5 (управління постачанням і запасами). Звичайно, наведені оцінки і методи, що описанні в розділі 5 не є вичерпним. Вище перелічені лише деякі основні типи оцінок, але навіть неповний перелік дає достатнє уявлення про різномаїття можливостей оцінювання при проведенні експертизи.

Матеріал для практичних занять

Задачі з рішеннями

Задача 8.2.1А

Правило максимізації ризику.

Оцінка імовірного недоодержання прибутку з урахуванням мінімізації. Торгівельна фірма реалізує автомобілі.

Структура збуту фірми (продаж авто) відповідає попиту. Діяльність фірми є прибутковою .

У результаті стратегії майбутнього у фірми є три варіанти переваг:

1.Продаж малолітражних авто.

2. Продаж лігкових з об’ємом циліндру > 1200 м³.

3. Продажі вантажівок.

Розвиток ринку невизначений і основні тенденції попиту такі:

1. Зростання попиту при незмінній структурі.

2. Незначне збільшення попиту і деякі зміни у структурі.

3. Очікується зростання попиту і зміни у структурі.

Процес рішення задачі включає такі процедури формальної логіки:

а). Вибір найбільш імовірного варіанту події;.

б). Визначення загального показника очікування події;

в). Принцип мінімакса (minmax) .Повне виключення ризику;

г). Принцип мінімаксного ризику (мінімізація максимального ризику).

Варіант 1

Вибір найбільш імовірного варіанту.

Сформуємо матрицю імовірностей структури збуту і прибутковості продажів. Хай за думкою експертів найбільш імовірний варіант 1-зростання попиту незмінній структурі при :

Варіанти стратегії	Прибуток
Малолітражні	52	70	60
Легкові	100	25	50
Вантажівки	75	50	80

В цьому випадку треба засередити діяльність на продажі авто з об’ємом циліндру 1200 м³, оскільки дає прибуток у 100 одиниць.

Висновок. Спеціалізуватись треба на продажі лігкових авто.

Варіант 2. Визначити загального користувача.

Спираючись на таблицю розрахунків можн зробити Висновки, що найбільший показник очікування характеризує як оптимальний варіант – продаж вантажівок.

Розрахункова таблиця

Стратегія	Варіанти попиту			Сума показників очікування
	Імовірність -0.5	Імовірність -0.3	Імовірність-0.2
Малолітражки	52 (52·50):100= 26	70 (70·30):100= 21	60 (60·20):100= 12	26+21+12= 59
Прибуток очікування
Лігкові	100 (100·50):100= 50	25 (25·30):100= 7.5	50 (50·20):100= 10	50+7.5+10= 67.5
Прибуток очікування
Вантажівки Прибуток очікування	75 (75·50):100=37.5	50 (50·30):100= 15	80 (80·20):100= 16	37.5+15+16= 68.5

Варіант 3. Принцип мінімаха

Варіанти стратегвї	Варіанти попиту			Max показники недобору
	1	2	3
Малолітражні Прибуток недобору	52 100-52=48	70 max 70-70=0	60 80-60=20	48
Лігкові Прибуток недобору	100 max 100-100=0	25 70-25=50	50 80-50=30	45
Вантажівки Прибуток недобору	75 100-75=25	50 70-50=20	80 max 80-80=0	25

Мінімальний прибуток у варіанті 1)-52, варіанті 2)-25, варіанті 3)-50, тобто max прибутку по малолітражним авто.

Висновки: Якщо умови будуть несприятливі, то для фірми оптимальною стратегією буде спеціалізація на продажі малолітражних авто.

Варіант 4. Мінімаксний ризик. З максимальних показників прибутку відраховують очікуваний прибуток по кожній стрічці варіантів. Отримуємо недобори від максимально очікуємих. З усіх недоборів найменьший-25.

Висновок: Для мінімізації максимального ризику пропонується продаж вантажівок.

Задача 8.2.2А

Визначити господарський ризик фірми за комерційною угодою. Фірма прогнозує ризик за дією, пов’язаною з закупівлею партії товарів А у постачальника В. Фірма має відповідну інформацію на підставі якої і сформуємо матрицю. Проведіть аналіз матриці і зробіть висновок.

Фактори ризику	Вага фактору	Імовірність	Показник ризику
Низька якість	0.2	0.2	0.04 max
Висока ціна	0.2	0.2	0.04 max
Строки поставки	0.1	0.2	0.02
Товара немає	0.1	0.1	0.01
Пересування	0.1	0.05	0.005
Фарс-можор	0.05	0.1	0.005
Інші фактори	0.05	0.05	0.0025 min
Товар-субстітут	0.2	0.1	0.02
Взагалі	1.0	1.0	0.1425

Висновок: Загальний показник ризику становить 0.1425. Потрібні заходи по нівелюванню тих факторів, що мають максимальні значення (1,2) і слід турбуватись щодо пошуку запасного постачальника.

Задачі без рішень

Задача 8.2.3С

Фермер вирощує і реалізує картоплю. На поточний сезон у розпорядженні фермера три сорти – А, В і С:

- морозостійкі, але врожайність у них меньша ніж у двох інших;

- стійкі проти хвороб, але у разі значної кількості опадів або вирощування із зрошенням мають низку врожайність;

- вразливі щодо заморозків, але з високою потенційною врожайністю.

Всі погодні цикли фермер поділив на 5 періодів в залежності від температурних режимів і кількості опадів. Маючи власні оцінки і дані спостережень у минулі роки фермер склав таблицю куди записав зачення стану погоди і чистого прибутку (грн./га) від реалізації кожного сорту.

Сорти картоплі	Стан погоди
	S1	S2	S3	S4	S5
Сорт А	1000	1200	1300	1400	1500
Сорт В	-150	0	500	1800	2100
Сорт С	-300	100	1850	2500	3000

Зробіть аналіз проблеми вибору сорту для садіння як задачу прийняття рішень в умовах ризику.

Задача 8.2.4С

Маркетолог організації склав прогноз щодо можливого об’єму реалізації продукції при різних рівнях цін на ринку (табл.8.10)

Таблиця 8. 10. Прогнозна інформація

Ціна диниці продукції, (грн.)	Найбільший з мо-жливих об’єм реалізації, од./міс.	Середній об’єм реалізації, (од./місяць)	Найменший з можливих об’єм продажів, од./місяць
10	20 000	18 000	16 500
12	18 500	17 000	15 500
15	15 000	13 500	11 000
20	10 000	8 000	5 000

Яку ціну за одиницю продукції слід вважати за оптимальну?

Задача 8.2.5С

Фірма виробляє два види (А і В) товару. Прибутковість цих товарів залежить від ситуації на ринку, де можуть виникнути два стани – 01, 02 із ймовірностями 0,3 і 0,7 відповідно. Ціна товару А у першому стані ринку зростає на 4%, у другому стані знижується на 1%. Ціна товару В у першому стані ринку знижується на 3%, у другому – зростає на 2%.

Порівняйте ризик інвестування в ці товари за відомими мірами ризику. Яку доходність та ризик буде мати інвестиція, якщо капітал розпділити рівною мірою між товаром А і В?

Задача 8.2.6С

Фірма виходить на ринок із новою продукцією. Менеджмент фірми оцінює ситуацію на ринку із рівними ймовірностями при наявності двох станів стосовно кон’юнктури цін: сприятливу і несприятливу для попиту на товар. Ціна на товар за сприятливої кон’юнктурі – 140 грн, за несприятливої – 80 грн. Функція витрат від об’єму нової продукції така:

Об’єм виробництва	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
Сукупні витрати	140	220	290	380	420	500	590	700	830	980	1170	1380	1610	1860

Визначить оптимальний об’єм виробництва.

Задача 8.2.7С

Інвестиційний фонд планує розмістити 0,1 млн. грн. у три об’єкти: А – державні цінні папери, В – пакет корпоративних аблігацій, С – ризикові акції. Є сподівання очікувати доходність: для А – 0,04 (4%) річних, В – 0,07 (7%) річних і С – 0,13 (13%) річних. Для зменьшення ризику фонд планує інвестувати у А і В не менше 25000 грн. Особливості податкової політики роблять недоцільним щоб інвестування у В і С перевищувало інвестиції у А більше ніж на 30000 грн.

Складіть модель розміщення капіталу і визначте оптимальний інвестиційний план. Який прибуток на капітал слід очікувати. Зміни у доходності якого із активів у найбільшій мірі впливатимуть на прибуток?

Задача 8.2.8С

Інвестор прагне інвестувати 100000$. Уподобанням інвестора відповідає компанія А, акції якої за останні три роки мали доходність 30%, та середньоквадратичне відхилення доходності 12%. Як страхування від ризику інвестор хоче залишити частину грошей на банківському рахунку. На вкладену в банк суму нараховується 10%. Якою має бути сума, щоб ймовірність збитків не перевищувала 0,1 %?

Задача 8.2.9С

Реалізація інвестиційного проекту здійснюється за рахунок кредиту , що взято під 30%. Рівень коливань сподіваних прибутків складає 10%. Якою має бути прибутковість за проектом, щоб ймовірність збитків при реалізації проекту не перевищувала 0,1?

Задача 8.2.10С

Менеджер організації, що займається роздрібною торгівлею розглядає три варіанти операційних дій які пов’язані із невизначеністю відносно доходів. Перший варіант може забезпечити тижневий доход 2000 грн. з ймовірністю 2/3, або 4000 грн із ймовірністю 1/3. Другий варіант дає стабільний доход у 2500 грн. Третій варіант генерує доход у 1000 грн із ймовірністю 9/10, але із ймовірністю 1/10 можна отримати 10000 грн. Який варіант обере менеджер якщо він: а) схильний до ризику із функцією корисності Х²; b) несхильний до ризику із функцією корисності √Х. В кожному із випадків обрахуйте детермінований еквівалент та премію за ризик.

Задача 8.2.11С

Операційний валютний ризик виникає при укладанні угод в яких передбачається здійснення платежів в іноземній валюті. Хай відчизняна компанія підписала 17.09. 2009 року контракт на придбання устаткування з німецькою фірмою на суму DM 2,8 млн. Термін поставки устаткування – 2 місяці. Оплата здійснюється так: 50% суми сплачується протягом 2 днів до підписання контракту, 50% - після підписання. В розрахунках використовується спот-курс НБУ. Спот-курс НБУ становив: 18.09.2009 р.(передплата) 1DM = 8,367 грн., 19.11.2009 р.(останній платіж) 1DM= 8, 469 грн. Якою є величина додаткових витрат, що пов’язана із зміною курсу?

Задача 8.2.12С

Розглядається проект з видобування корисних копалин. Початкова інвестиція складає $10000. За перший рік всі корисні копалини видобуваються та продаються з чистим прибутком $42000. Протягом другого року необхідно інвестувати $36000 у рекультивацію землі. Обрахувати межі ціни капіталу, при яких проект матиме додатне NPV. При якій ціні капіталу NPV буде максимальним?

Задача 8.2.13С

У таблиці наведені портфелі із їх сподіваною доходністю (m), стандартним відхиленням (σ), та значенням функції корисності для інвестора (Ư).

Портфелі	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
m	3%	6%	13%	25%	5%	8%	15%	28%	8%	11%	18%	31%
σ	0%	5%	10%	15%	0%	5%	10%	15%	0%	5%	10%	15%
U^*	10	10	10	10	20	20	20	20	30	30	30	30

Побудувати на площині „доходність-ризик” графіки кривих байдужостдля цього інвестора.

Задача 8.2.14С

У таблиці 8.11 наведені експертні оцінки щодо доходності трьох активів: А, В, С. Оцініть ситуацію щодо станів, проведіть відповідні розрахунки і зробіть висновки на основі отриманих даних.

1. Обрахувати середню доходність та ризик кожного типу активів;

2. Побудувати кореляційну матрицю доходності;

Таблиця 8.11. Експертні оцінки ефективності потрфелів активів

Стан, θ	Ймовірність, Р	Доходність активу А, %	Доходність активу В,%	Доходність активу С, %
Θ1	0,3	20	30	- 10
Θ2	0,6	20	5	15
Θ3	0,1	5	- 20	15

3. Сформувати ефективний портфель з активів А та С, який би давав доходність 12%. Обрахувати ризик даного портфеля

Задача 8.2.15С

Мале підприємство з виробництва хлібобулочних виробів виготовляє, окрім іншої продукції торти. У прдовж дня розкуповується від 15 до 20 тортів. Витрати на виробництво одного торту складають 22 грн, а продається він за 35 грн. Власник підприємства помітив, що протягом останніх місяців 15 тортів у продовж одного дня купували у термін 5 днів; 16, 17 ,18 тортів купували у термін 6 днів; 19 тортів у продовж 7 днів; по 20 тортів в день купували в середньому 2 дні на місяць. Якою є оптимальна кількість тортів, які підприємство має виготовляти щодня?.

Задача 8.2.16С

Розповсюджувач газет купує в типографії газети за ціною 2 грн. та продає за ціною 3 грн. Непродані газети можна повернути в типографію за 10 коп. Типографія продає газети пакетами по 10 екземплярів. Розповсюджувач помітив, що він ніколи не продавав менше 100 газет і більше за 140 газет за день. Попит на газети в межах від 100 до 140 є рівномірним (тобто ймовірність купівлі будь-якої кількості в цих межах дорівнює 1/41). Обрахувати середню величину попиту на газети в день та знайти оптимальну кількість газет, яку має купувати розповсюджувач щодня.

Задача 8.2.17С

Менеджер розглядає три пропозиції щодо місця роботи:

1. На першому місці менеджер може отримувати стабільний доход $500.

2.На другому місці доход є не стабільний (випадкова величина), яка рівномірно розподілена на проміжку [$400, $800].

3. На третьому місці дохід може бути $300 із ймовірністю 0,5 та $550 із ймовірністю 0,5.

Яку роботу обере менеджер, якщо він має функцію корисності: а) у=к; b) у=х²; с) у=√х. Обрахувати у кожному із випадків детермінований еквівалент та премію за ризик.

Задача 8.2.18С

Підприємство розглядає можливість виробництва та реалізації одного із 4-х видів продукції. За даними маркетологів, які обстежили стан ринку, складена прогнозна оцінка доходів (тис.грн.) від реалізації продукції в залежності від станів ринку (табл.8.12):

Таблиця 8.12. Прогнозований дохід на різних ринках

	Стан 1	Стан 2	Стан 3	Стан 4	Стан 5
Варіант 1	5	-15	2	6	8
Варіант 2	6	-3	3	0	4
Варіант 3	-8	0	-2	10	6
Варіант 4	0	4	0	1	0

Який варіант із наведених в таблиці 8.12 є оптимальним? Оцінити за всіма відомими Вам критеріями.