1.2.2. Статистичні методи

Вважається, що існує більш ніж 100 різноманітних методів і підходів щодо прогнозування які відрізняються за інструментарієм, який використовується, за умовами застосування і науковою обґрунтованістю [2,7,4,8,12,13,14,15,17,19].

Найбільш досліджений і тому поширений клас моделей в основі яких аналіз кореляційних і регресійних взаємозв’язків попиту і факторів впливу.

Алгоритм реалізації статистичного підходу на попередньому етапі:

1.Створити графік залежності попиту від часу.

2.На основі графіку зробити висновок щодо аналітичної форми кривої.

3.Застосування для пошуку рішення методу найменших квадратів.

4.Оцінка середніх неузгодженостей (відхилень).

5. Прийняття рішення щодо практичного використання моделі.

Деякі теоретичні зауваження. Вибір функції вважається найкращім, якщо стандартне відхилення зведено до мінімуму: ,

де: d_t - фактичний попит у період t;

d_t^* – значення прогнозованої функції;

n – кількість періодів;

f – кількість ступенів свободи.

Мінімум S_dt еквівалентне мінімуму , тому задача може бути зведеною до мінімуму сум квадратичних різностей між фактичним значенням попиту у час t і тим значенням яке приймає прогнозуюча функція.

В цьому сенсі доцільним буде звернути увагу на причинне (каузальне) прогнозування коли попит пов’язаний із деякими визначальними факторами зовнішнього середовища. Розглянемо ці проблеми, використовуючи метод регресійного аналізу.

Найбільш часто для побудови прогнозуючої функції використовують лінійну - У= а₀ +а₁t; параболічну – У=а₀+а₁t+а₂t²; гіперболічну - У=а₀+а₁/t і багаточлени більш високих порядків.

Для прикладу оберемо лінійну функцію - У= а₀ +а₁t. Щоб визначити коефіцієнти при змінних - а₀ і а₁ потребно мінімізувати . Для цього треба визначити перші частні добутки Е за а₀ і а₁ , дорівняти їх 0, тобто вирішити систему рівнянь:

; звідки і отримаємо значення параметрів а₀ і а₁. Так само для гіперболи і параболи.

Однак попит часто має циклічний характер. В такому випадку функція, що прогнозується може бути надана у вигляді : , де: N – кількість періодів в одному циклі. Можна отримати і лінійно-циклічну функцію: .

Приклад 1.7

Маркетологами організації проведено обстеження матеріального стану об'єму споживання продовольчих товарів у 9 родин. Маємо дані щодо витрат на споживання продукту, дохід на особу і кількісний склад 9 родин на основі яких сформуємо матрицю(табл. 1.5).

Таблиця 1.5. Дані спостережень матеріального стану і попиту родин

№	Витрати спо- живання, У	Доход на од. - Х	Сер.розмір -ність--Х2
1	433	628	1,5
2	616	1577	2,1
3	900	2659	2,7
4	1113	3701	3,2
5	1305	4796	3,4
6	1488	5926	3,6
7	1645	7281	3,7
8	1914	9350	4,0
9	2411	18807	3,7

Рішення задачі.

А) Лінійна однофакторна залежність витрат на споживання від величини доходу на одну людину – х_і має вигляд - .

Алгоритм реалізації моделі: а). Відшукуються коефіцієнти при змінній - а₀ і а_і . Для цього формується система нормальних рівнянь і вирішується метод найменших квадратів:

У числовому виразі: ;

; .

Таким чином числова модель - . Тобто, маємо лінійну модель прямого зв'язку.

b). Встановлюється щільність зв'язку: , де : S_ij – середня квадратична похибка вибірки; , де: - середнє арифметичне; - средня квадратична похибка рівняння ; ŷ- відповідне значення, що обраховане за моделлю. В наведеному прикладі . В такому випадку - . Маємо дуже тісний зв'язок, оскільки - коефіцієнт детермінації (показує частку зміни результативної ознаки під дією факторної) дорівнює =0.859. Тобто, фактором доходу на особу можна пояснити 86% зміни витрат на споживання.

Б) Двохфакторна лінійна модель залежності доходів на споживання від доходу на одну особу і розмірність родин (х₂). Аналіз рішення задачі включає:

- визначення форми зв'язку результату ознаки із факторами;

- виявлення щільності цього зв'язку;

- встановлення кількісного впливу окремих факторів.

Модель записується як . Параметри (коефіцієнти при змінних) відшукуються на підставі рішення системи нормальних рівнянь.

Результатом рішення системи (метод Гауса) будуть значення: а₀=18,63; а₁=0,0985; а₂=224,6. У числовому запису модель буде такою: .

Для визначення щільності зв'язку обчислюються парні коефіцієнти кореляції: r_yx1, r_yx2, r_x1x2 , ; ; .

Аналогічно для r_yx2 , r_x1x2 . Після цього визначимо загальний коефіцієнт множинної кореляції -

, і після розрахунків отримаємо - . Тобто маємо вищий показник ніж в однофакторній моделі. Зв'язок витрат на споживання із x₁ і x₂ дуже щільний: сукупний коефіцієнт детермінації - . Тобто 97% змін пояснюється доходом на кожну особу родини і розміром родини.

Щільність зв'язку визначається через приватні коефіцієнти кореляції. Приватний коефіцієнт кореляції між у і х₁ при незмінному х₂ розраховується . Аналогічно для . В нашому випадку приватні коефіцієнти детермінації будуть мати значення: ; ; ; .

Вплив окремих факторів може бути визначено на підставі приватних коефіцієнтів еластичності: ; . Розрахунки за цими формулами показують, на скільки відсотків зміниться результативність ознаки, якщо значення однієї з факторних ознак змінити на 1%, а значення іншого залишиться незмінним.

В прикладі: ; ; ; ;

=

При збільшенні особового доходу на 1% і незмінному розмірі родини витрати на споживання збільшаться на 0,45%, а збільшення розміру родини на 1% при незмінному доході на особу приведе до зростання споживчих витрат на 0,53%.

Методи багатофакторного кореляційного і регресійного аналізу засновані на аналізі і передбачуваності реальних факторів. В загальному випадку прогнозну функцію можна уявити у такому вигляді: , де: х₁(t), х₂(t),…, x_m(t) – кількісні вирази факторів у t-му році. При прогнозуванні використовуються багато різновидів цієї функції (функції статистичного і динамічного типів).

Сутність процесу полягає в такому:

1. Передбачається, що кількісні зв’язки між параметром, що прогнозується і визначальним фактором незмінні.

2. Віддзеркалюється змінення в часі кількісних зв’язків, а також враховується запізнення впливу факторів.

3. Розглядаються функції різноманітної форми залежності (лінійні, поліноміальні, гіперболічні, степеневі, експоненціальні) із різною кількістю факторів і різною ступеню їх агрегації.

Методи багатофакторного регресійного аналізу, що враховують односторонні причинні зв’язки, дозволяють отримати надійні прогнози, особливо у межах незначного проміжку часу. Крім того надаються можливості проаналізувати вплив ряду факторів, дати кількісну оцінку міри їх впливу і обрати для прогнозу найбільш важливі і суттєві. Застосування цих методів пов’язують із підготовкою якісної вхідної інформації (у вигляді динамічних рядів або даних просторової статистики).

Однак при застосуванні слід враховувати, що методи мають ланцюг виправдано спрощених передумов, які закладені до їх основи. Перш за все це однобічна залежність факторів і показника, що прогнозується з одного боку і незалежність факторів між собою. В реальності всі фактори взаємодіють один з одним.

У процедури застосування методів багатофакторного регресійного аналізу закладено гіпотезу про збереження на визначений термін форми залежності. Також приймається, що питома вага факторів, сила і спрямованість їх дій не змінюються і параметри моделі є достатньо стабільні. Однак зауважимо, що багатофакторні моделі статичні і не містять елементів, що віддзеркалюють динамічні тенденції і тому не придатні для аналізу динамічних закономірностей.

Для прикладного використання методів багатофакторного регресійного аналізу потрібен відокремлений прогноз власно факторів. Метод не можна використати коли самі фактори не піддіються прогнозуванню і кількісному оцінюванню.