- •Часть 1
- •Оглавление
- •Введение
- •1. Источники и причины погрешностей математической модели
- •Погрешность математической модели
- •Погрешность исходных данных
- •Погрешность численного метода
- •Погрешность проведения расчетов на вычислительных машинах
- •Погрешности округления чисел в эвм
- •Погрешность результатов вычисления арифметических операций
- •“Потеря порядка” и “переполнение” при проведении вычислений на эвм
- •Машинная реализация вычислений
- •Контрольные вопросы и задания
- •2. Системы линейных алгебраических уравнений
- •Прямые методы решения
- •Метод Гаусса
- •Определение числа операций алгоритма метода Гаусса
- •Вычисление определителя матрицы
- •Построение обратной матрицы
- •Метод квадратного корня
- •Определение числа операций алгоритма метода квадратного корня
- •Устойчивость системы линейных алгебраических уравнений
- •Итерационные методы решения
- •Метод Якоби1
- •Метод Зейделя1
- •Сходимость итерационных методов
- •Скорость сходимости
- •Полиномы Чебышёва1
- •Итерационный метод с чебышёвским набором параметров
- •Неявный метод с чебышёвским набором параметров
- •Метод минимальных невязок
- •Метод минимальных поправок
- •Метод скорейшего спуска
- •Неявный метод скорейшего спуска
- •Контрольные вопросы и задания
- •3.НелинейныЕ уравнения
- •Методы вычисления корней нелинейного уравнения1 Метод половинного деления2
- •Метод простых итераций
- •Метод Ньютона2
- •Модификации метода Ньютона
- •Системы нелинейных уравнений
- •Метод простых итераций
- •Метод релаксации
- •Метод Ньютона
- •Нелинейный вариант метода Якоби
- •Нелинейный вариант метода Зейделя
- •Контрольные вопросы и задания
- •Интерполяция степенными функциями
- •Интерполяционный многочлен Ньютона
- •Интерполяционная формула Лагранжа
- •Погрешность полинома Ньютона (Лагранжа)
- •Сходимость интерполяционного процесса
- •Интерполяционный многочлен Эрмита1
- •Интерполяция сплайнами
- •Построение кубического сплайна
- •Сходимость процесса интерполяции кубическими сплайнами
- •Наилучшее приближение в гильбертовом пространстве
- •Метод наименьших квадратов
- •Контрольные вопросы и задания
- •5. Алгебраическая проблема собственных значений
- •Устойчивость собственных значений и векторов
- •Определение собственных значений и векторов Метод интерполяции
- •Трехдиагональные матрицы
- •Поиск собственных векторов
- •Частичная проблема собственных значений
- •Метод линеаризации
- •Степенной метод
- •Метод обратных итераций
- •Контрольные вопросы и задания
- •6.Численное дифференцирование Конечно-разностная аппроксимация
- •Применение интерполяционных формул
- •Контрольные вопросы и задания
- •7.Численное интегрирование
- •Формула прямоугольников
- •Формула трапеций
- •Формула Симпсона1
- •Формула Эйлера1
- •Оценка погрешности методом Рунге2
Министерство общего и профессионального образования Российской Федерации
Пермский государственный технический университет
Кафедра математического моделирования систем и процессов
М. Г. Бояршинов
Ч и с л е н н ы е м е т о д ы
Учебное пособие для студентов направления
“Прикладная математика и информатика”
Часть 1
Пермь
УДК 681.3
Б 86
Численные методы: Учебное пособие для студентов направления “Прикладная математика и информатика” / М. Г. Бояршинов; Перм. гос. техн. ун-т. Пермь, . - 176 с.
Учебное пособие написано на основе курса, читаемого студентам направления “Прикладная математика и информатика” (специализация “Математическое моделирование”) в Пермском государственном техническом университете.
Введены основные понятия математического моделирования, рассмотрены причины и источники погрешностей при проведении вычислительного эксперимента. Рассмотрены прямые и итерационные методы решения систем линейных и нелинейных алгебраических уравнений, вопросы аппроксимации функций полиномами и сплайнами, вопросы численного дифференцирования и интегрирования. Сформулирована алгебраическая проблема собственных значений и векторов, определены пути ее решения. Основное внимание уделяется оценкам погрешности при проведении вычислений, устойчивости и сходимости алгоритмов решения прикладных задач.
Пособие предназначено для студентов и аспирантов вузов, специалистов, занимающихся вопросами построения моделей систем и процессов. Может быть полезно учителям средних учебных заведений при проведении факультативных занятий по компьютерному моделированию.
Печатается по решению редакционно - издательского совета Пермского государственного технического университета.
Табл. 13. Ил. 28. Библиогр. : 12 назв.
Рецензенты:
д-р физ.-мат наук Е. Л. Тарунин; зав. кафедрой математики и информатики Перм. гос. ун-та,
канд. физ.-мат. наук О. Ю. Сметанников
ISBN 5 - 88151 - 158 - 1 Пермский государственный
технический университет, 1998
Оглавление
Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1. Источники и причины погрешностей математической модели. . . . . . . . . . . . . . . . . 8
Погрешность математической модели. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Погрешность исходных данных. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Погрешность численного метода. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Погрешность проведения расчетов на вычислительных машинах. . . . . . . . . . . 13
Погрешности округления чисел в ЭВМ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Погрешность результатов вычисления арифметических операций . . . . . . . . .14
“Потеря порядка” и “переполнение” при проведении вычислений на ЭВМ 15
Машинная реализация вычислений. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Контрольные вопросы и задания. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2. Системы линейных алгебраических уравнений. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Прямые методы решения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Метод Гаусса. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Определение числа операций алгоритма метода Гаусса. . . . . . . . . . . . . . . . . 27
Вычисление определителя матрицы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Построение обратной матрицы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Метод квадратного корня. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Определение числа операций алгоритма метода квадратного корня. . . . . . . 35
Устойчивость системы линейных алгебраических уравнений. . . . . . . . . . . . . . . 36
Итерационные методы решения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
Метод Якоби. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
Метод Зейделя. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
Сходимость итерационных методов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
Скорость сходимости. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
Полиномы Чебышёва. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
Итерационный метод с чебышёвским набором параметров. . . . . . . . . . . . . . 61
Неявный метод с чебышевским набором параметров. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
Метод минимальных невязок. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
Метод минимальных поправок. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
Метод скорейшего спуска. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
Неявный метод скорейшего спуска. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
Контрольные вопросы и задания. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.Нелинейные уравнения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
Методы вычисления корней нелинейного уравнения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
Метод половинного деления. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
Метод простых итераций. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
Метод Ньютона. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
Модификации метода Ньютона. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
Системы нелинейных уравнений. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
Метод простых итераций. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
Метод релаксации. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
Метод Ньютона. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
Нелинейный вариант метода Якоби. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
Нелинейный вариант метода Зейделя. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
Контрольные вопросы и задания. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4. Аппроксимация функций. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
Интерполяция степенными функциями. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
Интерполяционный многочлен Ньютона. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
Интерполяционная формула Лагранжа. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
Погрешность полинома Ньютона (Лагранжа) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
Сходимость интерполяционного процесса. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
Интерполяционный многочлен Эрмита. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
Интерполяция сплайнами. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
Построение кубического сплайна. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
Сходимость процесса интерполяции кубическими сплайнами. . . . . . . . . . . 110
Наилучшее приближение в гильбертовом пространстве. . . . . . . . . . . . . . . . 117
Метод наименьших квадратов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
Контрольные вопросы и задания. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
5. Алгебраическая проблема собственных значений. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
Устойчивость собственных значений и векторов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
Определение собственных значений и векторов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
Метод интерполяции. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
Трехдиагональные матрицы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
Поиск собственных векторов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
Частичная проблема собственных значений. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
Метод линеаризации. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
Степенной метод. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
Метод обратных итераций. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
Контрольные вопросы и задания. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
6.Численное дифференцирование. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
Конечно-разностная аппроксимация. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
Применение интерполяционных формул. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
Контрольные вопросы и задания. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
7.Численное интегрирование. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
Формула прямоугольников. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
Формула трапеций. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
Формула Симпсона. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
Формула Эйлера. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
Оценка погрешности методом Рунге. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
Квадратурные формулы интерполяционного типа. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
Квадратурные формулы наивысшей точности. Формулы Гаусса. . . . . . . . . . . 164
Контрольные вопросы и задания. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
Предметный указатель. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
Библиографический список. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176