- •Часть 1
- •Оглавление
- •Введение
- •1. Источники и причины погрешностей математической модели
- •Погрешность математической модели
- •Погрешность исходных данных
- •Погрешность численного метода
- •Погрешность проведения расчетов на вычислительных машинах
- •Погрешности округления чисел в эвм
- •Погрешность результатов вычисления арифметических операций
- •“Потеря порядка” и “переполнение” при проведении вычислений на эвм
- •Машинная реализация вычислений
- •Контрольные вопросы и задания
- •2. Системы линейных алгебраических уравнений
- •Прямые методы решения
- •Метод Гаусса
- •Определение числа операций алгоритма метода Гаусса
- •Вычисление определителя матрицы
- •Построение обратной матрицы
- •Метод квадратного корня
- •Определение числа операций алгоритма метода квадратного корня
- •Устойчивость системы линейных алгебраических уравнений
- •Итерационные методы решения
- •Метод Якоби1
- •Метод Зейделя1
- •Сходимость итерационных методов
- •Скорость сходимости
- •Полиномы Чебышёва1
- •Итерационный метод с чебышёвским набором параметров
- •Неявный метод с чебышёвским набором параметров
- •Метод минимальных невязок
- •Метод минимальных поправок
- •Метод скорейшего спуска
- •Неявный метод скорейшего спуска
- •Контрольные вопросы и задания
- •3.НелинейныЕ уравнения
- •Методы вычисления корней нелинейного уравнения1 Метод половинного деления2
- •Метод простых итераций
- •Метод Ньютона2
- •Модификации метода Ньютона
- •Системы нелинейных уравнений
- •Метод простых итераций
- •Метод релаксации
- •Метод Ньютона
- •Нелинейный вариант метода Якоби
- •Нелинейный вариант метода Зейделя
- •Контрольные вопросы и задания
- •Интерполяция степенными функциями
- •Интерполяционный многочлен Ньютона
- •Интерполяционная формула Лагранжа
- •Погрешность полинома Ньютона (Лагранжа)
- •Сходимость интерполяционного процесса
- •Интерполяционный многочлен Эрмита1
- •Интерполяция сплайнами
- •Построение кубического сплайна
- •Сходимость процесса интерполяции кубическими сплайнами
- •Наилучшее приближение в гильбертовом пространстве
- •Метод наименьших квадратов
- •Контрольные вопросы и задания
- •5. Алгебраическая проблема собственных значений
- •Устойчивость собственных значений и векторов
- •Определение собственных значений и векторов Метод интерполяции
- •Трехдиагональные матрицы
- •Поиск собственных векторов
- •Частичная проблема собственных значений
- •Метод линеаризации
- •Степенной метод
- •Метод обратных итераций
- •Контрольные вопросы и задания
- •6.Численное дифференцирование Конечно-разностная аппроксимация
- •Применение интерполяционных формул
- •Контрольные вопросы и задания
- •7.Численное интегрирование
- •Формула прямоугольников
- •Формула трапеций
- •Формула Симпсона1
- •Формула Эйлера1
- •Оценка погрешности методом Рунге2
Наилучшее приближение в гильбертовом пространстве
Рассмотрим линейное нормированное пространство H, в котором задана конечная система линейно-независимых элементов . Требуется заменить некоторый элемент линейной комбинацией
, (4.26)
где - обобщенный многочлен.
Задача о наилучшем приближении заключается в поиске среди множества линейных комбинаций вида (4.26) такой, для которой отклонение было бы наименьшим. Такой элемент (обобщенный полином) является элементом наилучшего приближения.
Пусть H - гильбертово пространство с нормой, порожденной скалярным произведением
,
.
Рассмотрим отклонение приближения (4.26) от элемента f :
(4.27)
Введем обозначения:
A - матрица с компонентами ;
c - вектор коэффициентов ;
- вектор .
Скалярное произведение векторов определим обычным образом:
.
Теперь выражение (4.27) можно представить следующим образом:
. (4.28)
Очевидно, что поиск элемента наилучшего приближения сводится теперь к поиску минимума функционала
, (4.29)
поскольку слагаемое в выражении (4.28) от параметров не зависит.
Исследуем свойства матрицы A. Поскольку , то очевидно, что матрица A симметрична.
Если положить f = 0, то из соотношения (4.28) можно получить:
.
Если для какого-либо имеет место равенство , то в силу получаем, что , и из условия линейной независимости следует : . Но это означает, что , то есть матрица А является положительно определенной.
Теорема 4.4. Если А - симметричная положительно определенная матрица, - заданный вектор, то функционал (4.29) имеет единственную точку минимума тогда и только тогда, когда вектор удовлетворяет системе линейных алгебраических уравнений
. (4.30)
Доказательство. В силу положительной определенности матрица А имеет определитель, отличный от нуля, то есть система уравнений (4.30) разрешима и имеет единственное решение.
Достаточность теоремы. Пусть является решением системы уравнений (4.30). Для произвольного вектора v, согласно определению (4.29), имеет место:
.
Учитывая симметрию матрицы A и вид функционала (4.29), запишем
.
Принимая во внимание выражение (4.30), окончательно получаем
.
С учетом положительной определенности матрицы А последнее выражение приводит к неравенству , но это и означает минимальность функционала (4.29) в точке .
Необходимость. Пусть теперь вектор доставляет минимум функционалу (4.29).
Воспользуемся полученным выше равенством
.
Положим - произвольный вектор, - скаляр; тогда
.
Полученное выражение теперь можно рассматривать как скалярную функцию
аргумента .
В силу допущения о минимальности функционала (4.29) имеем , то есть . Это, в свою очередь означает, что =0 доставляет минимум функции g(), откуда следует
,
.
Поскольку последнее равенство справедливо , получаем , что и требовалось доказать.
В компонентной записи система линейных алгебраических уравнений выглядит следующим образом:
. (4.31)
Алгоритм определения элемента наилучшего приближения:
- вычисление коэффициентов матрицы ;
- вычисление значений правых частей ;
- решение системы уравнений (4.31);
- построение .
В случае ортонормированности системы построение приближения значительно упрощается, поскольку в этом случае и коомпоненты вектора определяются сразу:
.
В этом случае погрешность приближения может быть оценена следующим образом:
Разложение носит название многочлена Фурье1, а - коэффициенты Фурье.
На рис. 4.6 приведены графики приближения | x | c помощью степенных рядов.
Рис. 4.6. Построение наилучшего приближения функции | x | с помощью полиномов Pn