Метод Зейделя1

Преобразуем выражение (2.9) к виду

, (2.11)

где n - также номер итерации. В отличие от метода Якоби, теперь для вычисления очередной неизвестной используются найденные на этой же итерации значения всех предыдущих величин. Как и ранее, вычислительный процесс заканчивается, когда выполняется условие:

,

>0 - заданная точность вычисления результата.

Пример 2.4. Рассмотрим систему алгебраических уравнений, указанную в предыдущем примере:

Представим полученные выражения в виде итерационной схемы:

Это означает, что для нахождения величины y на (n+1) итерации используется значение x, только что вычисленное на этой же итерации. В качестве начального приближения также примем . Результаты расчетов сведены в табл. 2.2. На рис. 2.2 графически показан ход выполнения итерационной процедуры Зейделя.

Как и в предыдущем случае, представим матрицу коэффициентов А в виде суммы с теми же обозначениями. Метод Зейделя можно представить в форме

.

Учитывая, как и ранее, что , последнее выражение можно записать в виде итерационной схемы

. (2.12)

Таблица 2.2

Результаты выполнения итерационной процедуры метода Зейделя

n	x^(n)	y^(n)
0		0
1	1,25
		1,05
2	0,725
		1,365
3	0,5675
		1,4595
4	0,5203
		1,4879
5	0,5061
		1,4964
6	0,5018
		1,4989
7	0,5005
		1,4997

Y

3

4x + 2y = 5

2

1

3x + 5y = 9

0 X

0 1 2 3

Рис. 2.2. Схема выполнения метода Зейделя