Частичная проблема собственных значений

Часто возникает задача определения не всего спектра собственных значений и векторов, а лишь каких-то, например, максимального и минимального собственных значений и соответствующих им векторов. В этом разделе рассматриваются простейшие способы вычисления собственных чисел и векторов. Для более широкого знакомства с проблемой собственных значений можно дополнительно обратиться к монографиям [11, 12].

Метод линеаризации

Пусть рассматривается задача (5.1), которую представим в компонентной форме

. (5.7)

Полученное выражение можно рассматривать как систему n нелинейных уравнений с (n+1) неизвестными величинами . Для замыкания системы уравнений можно добавить условие нормирования собственного вектора:

. (5.8)

Использование метода Ньютона для решения системы нелинейных уравнений (5.7) - (5.8) приводит к итерационному процессу

,

,

где .

Учитывая конкретный вид уравнений (5.7) и (5.8), получаем

(5.9)

В результате такого итерационного процесса будет найдено какое-то собственное значение и соответствующий ему собственный вектор, в зависимости от начального приближения.

Пример 5.5. Определить методом линеаризации собственные векторы матрицы

.

Согласно формулам (5.9) получаем итерационную процедуру для вычисления собственных значений и векторов:

На каждом этапе расчетов очередное приближение решения определяется по формулам

.

Результаты расчетов сведены в табл. 5.2.

Таблица 5.2

Расчет собственного значения и вектора методом линеаризации

Номер итерации			
0	1,0	1,0	1,0
1	-0,375	1,875	4,75
2	0,45741931	1,082795321	6,26862705
3	0,376979184	0,946529203	6,038835844
4	0,371426686	0,928555837	6,000515885
5	0,371390677	0,928476699	6,000000051
6	0,371390676	0,928476691	6,000000000

Очевидно, что решение сошлось к найденным ранее собственному вектору и собственному значению .

Степенной метод

Степенной метод предназначен для определения наибольшего (по модулю) собственного значения.

Пусть все собственные числа упорядочены следующим образом:

.

Рассмотрим итерационный процесс вида

.

Разложим начальное приближение по базису из собственных векторов матрицы A:

.

Тогда очевидно, что

;

;

. . .

.

Для достаточно большого числа итераций получим, что . Отсюда следует, что , то есть построенная указанным способом последовательность векторов сходится (с точностью до направления) к вектору , соответствующему наибольшему собственному значению .

Кроме того, учитывая, что имеет место зависимость

, (5.10)

получим итерационный процесс для вычисления наибольшего (по модулю) собственного значения:

.