- •Часть 1
- •Оглавление
- •Введение
- •1. Источники и причины погрешностей математической модели
- •Погрешность математической модели
- •Погрешность исходных данных
- •Погрешность численного метода
- •Погрешность проведения расчетов на вычислительных машинах
- •Погрешности округления чисел в эвм
- •Погрешность результатов вычисления арифметических операций
- •“Потеря порядка” и “переполнение” при проведении вычислений на эвм
- •Машинная реализация вычислений
- •Контрольные вопросы и задания
- •2. Системы линейных алгебраических уравнений
- •Прямые методы решения
- •Метод Гаусса
- •Определение числа операций алгоритма метода Гаусса
- •Вычисление определителя матрицы
- •Построение обратной матрицы
- •Метод квадратного корня
- •Определение числа операций алгоритма метода квадратного корня
- •Устойчивость системы линейных алгебраических уравнений
- •Итерационные методы решения
- •Метод Якоби1
- •Метод Зейделя1
- •Сходимость итерационных методов
- •Скорость сходимости
- •Полиномы Чебышёва1
- •Итерационный метод с чебышёвским набором параметров
- •Неявный метод с чебышёвским набором параметров
- •Метод минимальных невязок
- •Метод минимальных поправок
- •Метод скорейшего спуска
- •Неявный метод скорейшего спуска
- •Контрольные вопросы и задания
- •3.НелинейныЕ уравнения
- •Методы вычисления корней нелинейного уравнения1 Метод половинного деления2
- •Метод простых итераций
- •Метод Ньютона2
- •Модификации метода Ньютона
- •Системы нелинейных уравнений
- •Метод простых итераций
- •Метод релаксации
- •Метод Ньютона
- •Нелинейный вариант метода Якоби
- •Нелинейный вариант метода Зейделя
- •Контрольные вопросы и задания
- •Интерполяция степенными функциями
- •Интерполяционный многочлен Ньютона
- •Интерполяционная формула Лагранжа
- •Погрешность полинома Ньютона (Лагранжа)
- •Сходимость интерполяционного процесса
- •Интерполяционный многочлен Эрмита1
- •Интерполяция сплайнами
- •Построение кубического сплайна
- •Сходимость процесса интерполяции кубическими сплайнами
- •Наилучшее приближение в гильбертовом пространстве
- •Метод наименьших квадратов
- •Контрольные вопросы и задания
- •5. Алгебраическая проблема собственных значений
- •Устойчивость собственных значений и векторов
- •Определение собственных значений и векторов Метод интерполяции
- •Трехдиагональные матрицы
- •Поиск собственных векторов
- •Частичная проблема собственных значений
- •Метод линеаризации
- •Степенной метод
- •Метод обратных итераций
- •Контрольные вопросы и задания
- •6.Численное дифференцирование Конечно-разностная аппроксимация
- •Применение интерполяционных формул
- •Контрольные вопросы и задания
- •7.Численное интегрирование
- •Формула прямоугольников
- •Формула трапеций
- •Формула Симпсона1
- •Формула Эйлера1
- •Оценка погрешности методом Рунге2
Интерполяция степенными функциями
Пусть в качестве системы функций рассматриваются полиномы
.
В этом случае D принимает вид определителя Вандермонда1
,
причем , если среди множества точек нет совпадающих. При этом алгебраический интерполяционный многочлен всегда существует и определен единственным образом.
Интерполяционный многочлен Ньютона
Для произвольной функции y(x) определим разделенные разности:
- первая разделенная разность
,
- вторая разделенная разность
,
- третья разделенная разность
,
и так далее.
Рассмотрим геометрический смысл разделенных разностей. Очевидно, что и являются аналогами первых производных функции y(x) на соответствующих отрезках и . Вторая разделенная разность аппроксимирует вторую производную функции y(x) на отрезке . Соответственно, третья разделенная разность - аналог третьей производной на отрезке , и так далее.
Пусть - искомый интерполяционный многочлен. Запишем для него разделенные разности:
,
,
, ...
Отсюда получаем выражение для полинома в виде схемы Горнера1:
Иначе это выражение можно записать в такой форме:
Эта цепочка конечна и содержит (n+1) слагаемое. В самом деле, - полином степени n; разность при обращается в нуль, то есть является корнем выражения , и следовательно, оно без остатка делится на разность . Но в этом случае
оказывается полиномом степени (n-1).
Соответственно, - полином степени (n-2), и так далее. В итоге, - полином степени (n-n) = 0, то есть константа, и наконец, .
В силу условия (4.1) имеет место , откуда получаем
,
либо по схеме Горнера
.
Пример 4.1. Построить аппроксимацию функции sin(x) на отрезке [0, /2].
Таблица 4.1
Таблица для интерполяции функции sin по 4 точкам
-
0
0
0,954929659
p/6
0,5
-0,244340364
0,699057028
-0,113871899
p/3
0,866025404
-0,423209925
0,255872631
p/2
1,0
Схема Горнера для аппроксимации заданной функции имеет вид
.
Для значения аргумента , отсутствующего в таблице, значение построенного полинома принимает значение, равное .
Вычисление функции sin с погрешностью не более дает . Таким образом, относительная погрешность вычисления составляет 0,172 % .
Пример 4.2. Определение корня нелинейного уравнения методом обратной интерполяции.
Идея метода обратной интерполяции заключается в построении полинома Ньютона для функции x(y) по заданной зависимости y(x). Особенность данного случая - необходимость построения полинома Ньютона на сетке с переменным шагом по координате .
Таблица 4.2
Таблица для построения обратной интерполяции функции x(y)
-
-1,083564434
0,25
0,490578385
-0,573961875
0,5
-0,077430171
0,403097823
0,013912025
0,046234976
0,75
-0,051261555
0,3327975
0,797442541
1,0
Интерполяционный полином Ньютона имеет вид
Для y = 0 получаем: x(0) = 0,73301752. Точное решение x = 0,732941247 (невязка уравнения при этом корне равна ). Относительная погрешность вычисления корня равна 0,0104 % .