- •Часть 1
- •Оглавление
- •Введение
- •1. Источники и причины погрешностей математической модели
- •Погрешность математической модели
- •Погрешность исходных данных
- •Погрешность численного метода
- •Погрешность проведения расчетов на вычислительных машинах
- •Погрешности округления чисел в эвм
- •Погрешность результатов вычисления арифметических операций
- •“Потеря порядка” и “переполнение” при проведении вычислений на эвм
- •Машинная реализация вычислений
- •Контрольные вопросы и задания
- •2. Системы линейных алгебраических уравнений
- •Прямые методы решения
- •Метод Гаусса
- •Определение числа операций алгоритма метода Гаусса
- •Вычисление определителя матрицы
- •Построение обратной матрицы
- •Метод квадратного корня
- •Определение числа операций алгоритма метода квадратного корня
- •Устойчивость системы линейных алгебраических уравнений
- •Итерационные методы решения
- •Метод Якоби1
- •Метод Зейделя1
- •Сходимость итерационных методов
- •Скорость сходимости
- •Полиномы Чебышёва1
- •Итерационный метод с чебышёвским набором параметров
- •Неявный метод с чебышёвским набором параметров
- •Метод минимальных невязок
- •Метод минимальных поправок
- •Метод скорейшего спуска
- •Неявный метод скорейшего спуска
- •Контрольные вопросы и задания
- •3.НелинейныЕ уравнения
- •Методы вычисления корней нелинейного уравнения1 Метод половинного деления2
- •Метод простых итераций
- •Метод Ньютона2
- •Модификации метода Ньютона
- •Системы нелинейных уравнений
- •Метод простых итераций
- •Метод релаксации
- •Метод Ньютона
- •Нелинейный вариант метода Якоби
- •Нелинейный вариант метода Зейделя
- •Контрольные вопросы и задания
- •Интерполяция степенными функциями
- •Интерполяционный многочлен Ньютона
- •Интерполяционная формула Лагранжа
- •Погрешность полинома Ньютона (Лагранжа)
- •Сходимость интерполяционного процесса
- •Интерполяционный многочлен Эрмита1
- •Интерполяция сплайнами
- •Построение кубического сплайна
- •Сходимость процесса интерполяции кубическими сплайнами
- •Наилучшее приближение в гильбертовом пространстве
- •Метод наименьших квадратов
- •Контрольные вопросы и задания
- •5. Алгебраическая проблема собственных значений
- •Устойчивость собственных значений и векторов
- •Определение собственных значений и векторов Метод интерполяции
- •Трехдиагональные матрицы
- •Поиск собственных векторов
- •Частичная проблема собственных значений
- •Метод линеаризации
- •Степенной метод
- •Метод обратных итераций
- •Контрольные вопросы и задания
- •6.Численное дифференцирование Конечно-разностная аппроксимация
- •Применение интерполяционных формул
- •Контрольные вопросы и задания
- •7.Численное интегрирование
- •Формула прямоугольников
- •Формула трапеций
- •Формула Симпсона1
- •Формула Эйлера1
- •Оценка погрешности методом Рунге2
Метод обратных итераций
Для нахождения наименьшего (по модулю) собственного значения матрицы А можно воспользоваться тем, что матрица имеет собственные значения, обратные собственным значениям исходной матрицы.
Понятно, что в этом случае итерационный процесс
(5.11)
приводит к определению модуля наибольшего собственного числа матрицы . Соответственно, является наименьшим собственным числом матрицы A.
Пример 5.6. Определить наибольшее и наименьшее собственные значения матрицы
.
Рассмотрим итерационный процесс .
Для заданной матрицы получаем систему
В качестве первого приближения выберем вектор . Результаты расчетов сведены в табл. 5.3.
Таблица 5.3
Вычисление наибольшего собственного значения
-
Номер итерации
0
1
1
1,414213562
1
3
9
9,486832981
6,708203932
2
21
51
55,15432893
5,813776742
3
123
309
332,5808173
6,030003876
4
741
1851
1993,810924
5,994966698
5
4443
11109
11964,53635
6,000837995
6
26661
66651
71785,54675
5,999860309
После нормирования получаем вектор
.
Ранее, при выполнении примера 5.1, найдены точные значения для собственного вектора
и собственного значения .
Для нахождения наименьшего собственного значения используем матрицу
.
Согласно выражению (5.11) построим итерационную процедуру
В качестве первого приближения вновь выберем вектор . Результаты расчетов сведены в таблицу 5.4.
Таблица 5.4
Вычисление наибольшего собственного значения
-
Номер итерации
0
1
1
1,414213562
1
-0,333333333
0,666666667
0,745355993
0,527046277
2
0,444444444
-0,388888889
0,590563656
0,792324287
3
-0,425925926
0,435185185
0,608932705
1,031104266
4
0,429012346
-0,427469136
0,605624847
0,994567777
5
-0,428497942
0,428755144
0,606169498
1,000899321
6
0,428583676
-0,428540809
0,606078537
0,999849941
7
-0,428569387
0,428576532
0,606093692
1,000025005
8
0,428571769
-0,428570578
0,606091166
1,000020837
9
-0,428571372
0,428571570
0,606091587
1,000000695
После нормирования получаем вектор
.
Значения для собственного вектора
и собственного значения также определены ранее.