Погрешность проведения расчетов на вычислительных машинах

Оценка погрешности результата вычисления при заданной ошибке в представлении данных может быть проведена следующим образом. Пусть x - точное значение, а - приближенное значение той же переменной. Обозначим абсолютную погрешность  в определении переменной разностью

.

Поскольку точное значение x неизвестно, введем “верхнюю” оценку  для величины погрешности: . Определим также величину относительной погрешности

.

Абсолютная погрешность делится на приближенное значение переменной, поскольку ее точное значение неизвестно.

Погрешности округления чисел в эвм

круглением будем называть операцию замены заданного числа другим числом, первые S значащих цифр которого совпадают с соответствующими цифрами исходного числа, а начиная с S+1 разряда содержат нули.

Многие практические способы округления чисел выполняют отбрасывание “лишних” разрядов, хотя возможны варианты, при которых в “младший” разряд округленного числа, в зависимости от ситуации, может добавляться единица.

Пусть, например, x=123456789, тогда при S=7 округленное число принимает значение . В этом случае погрешность округления равна , то есть не превышает единицы (с соответствующим порядком) в младшем разряде округленного числа.

Всякое вещественное число в компьютере представляется в нормализованном виде x = ap^b, где p - основание, b - показатель степени (целые числа), a - мантисса (вещественное число). Для определенности и однозначности будем считать p=10, . Ошибки округления появляются при хранении именно мантиссы вещественного числа. В представлении чисел на персональных компьютерах IBM достоверными могут быть 7 значащих цифр (для хранения числа отводится 4 байта оперативной памяти), 15 цифр (8 байт) или 19 (10 байт).

Рассмотрим оценки погрешности округления при S=7. Округленное число представляется в виде , где под символом X может пониматься любая цифра от 0 до 9. Очевидно, что абсолютная погрешность определяется значением

.

Модуль относительной погрешности

.

Для некоторых частных случаев погрешность представления вещественных чисел оценивается:

Для всех чисел, представимых в электронно-вычислительной машине, относительная погрешность одна и та же, что очень существенно при получении оценок погрешностей математических моделей.

Погрешность результатов вычисления арифметических операций

Оценим погрешность результата сложения двух чисел, заданных с ошибкой:

.

Аналогично определяется погрешность результата вычитания:

.

Для определения абсолютных погрешностей операций умножения и деления двух чисел проведем соответствующие выкладки:

.

Оценим относительные погрешности результатов умножения и деления:

,

.

В последних выражениях учитывается, что величины .

Таким образом, при выполнении арифметических операций сложения и вычитания складываются (вычитаются) абсолютные погрешности, а при умножении и делении - относительные погрешности.

“Потеря порядка” и “переполнение” при проведении вычислений на эвм

Пусть  - наименьшее положительное число, представимое в ЭВМ; при использовании 4 байт, и при 8-байтовом представлении вещественной переменной. Это означает, что все действительные числа из интервала нельзя представить в ЭВМ в нормализованном виде. В этом случае приближение истинного числа в компьютере равно . Но это означает, что имеет место катастрофическая потеря точности арифметических вычислений:

.

С другой стороны, пусть  - наибольшее положительное число, представимое в ЭВМ. Все действительные числа |x| >  нельзя представить в нормализованной форме. Приближение числа x определяется как . Очевидно, что и в этом случае имеет место потеря точности: .