2.2. Дуальные цепи

Другим видом аналогии цепей является их дуальность. Цепи NW и NW' дуальны при выполнении следующих условий:

 законы Кирхгофа для напряжений цепи NW совпадают с законами Кирхгофа для токов цепи NW' при замене ;

 уравнения u(i) ветвей NW совпадают с уравнениями i(u) ветвей NW', если сделать замену , , , , , , где E и I – источники напряжения и тока соответственно.

При выполнении этих условий уравнения контурных токов NW совпадают с уравнениями узловых напряжений NW'. Коэффициенту передачи напряжения и входной проводимости исходной цепи будут соответствовать коэффициент передачи по току и входное сопротивление дуальной цепи.

Построим цепь NW', дуальную по отношению к цепи NW, граф которой показан на рис.2, по следующим правилам.

Каждому контуру исходной цепи ставим в соответствие узел дуальной цепи. При этом ветвь связи двух контуров цепи NW заменяется ветвью, соединяющей два узла цепи NW'. Внешним ветвям графа NW соответствуют ветви дуального графа NW', сходящиеся в одном узле. Согласование направлений ветвей дуальных графов достигается поворотом ветвей цепи NW по часовой стрелке до совпадения с соответствующими ветвями цепи NW'.

Построенная таким образом цепь NW' с параметрами G₁ = G₂ = 0,5, G₃ = 0,1, L = 1, C = 2/3 показана на рис.6. Если воспользоваться формулами для констант подобия (18), то можно получить цепь, подобную дуальной.

Приведенные соотношения показывают, что уравнения состояния (12) описывают множество цепей с аналогичной или дуальной структурой, реакции которых подобны.

3. Разностные уравнения цепей

3.1. Алгоритмы численного интегрирования

уравнений состояния

При расчете и моделировании процессов на ЭВМ используют непосредственное численное интегрирование дифференциальных уравнений. В этом случае определению подлежат значения u[k] = u(t_k) сигналов непрерывного времени (НВ) u(t) в дискретные моменты времени t_k = kh в узлах временной сетки, образованной разбиением интервала наблюдения T_н на N отрезков с шагом дискретности h = T_н/N. В технических системах сигналы дискретного времени (ДВ) получают выборкой сигнала НВ в моменты, задаваемые тактовыми импульсами.

Для описания систем ДВ используют разностные уравнения

, (21)

где r – порядок уравнения; u[k + n] – искомая реакция; e[k + m] – входная выборка; a_n и b_m – коэффициенты.

Вид разностного уравнения зависит от способа приближенного интегрирования дифференциального уравнения. Алгоритмы решения разностного уравнения могут быть реализованы как с помощью вычислительных программ, так и с помощью электронных устройств, например, приборов с переносом заряда, на базе которых выполняются цифровые фильтры, линии задержки, преобразователи Фурье и т.п.

Рассмотрим простейшие алгоритмы численного интегрирования уравнения первого порядка, описывающего, например, динамику последовательного RL-контура

, (22)

где x(t) – ток; e(t) – напряжение источника; b = 1/L, a = –R/L.

Построим разностное уравнение с использованием формулы Ньютона – Лейбница

. (23)

Если принять, что в пределах шага интегрирования h = t_k + 1 – t_k функция f(x, t) постоянна и равна значению в начале интервала, то получим явный алгоритм Эйлера

.

Поскольку на интервале дискретизации производная имеет постоянное значение, то решение уравнения (22) имеет вид кусочно-линейной функции – ломаной Эйлера.

Для повышения точности расчета используют неявный алгоритм, который возникает при замене f(x, t) в интеграле (23) константой, равной значению функции в конце интервала

.

Решение уравнения относительно x[k + 1] дает искомый алгоритм вычисления

.

Применение неявного алгоритма Эйлера к нормированной системе дифференциальных уравнений (12), (20) приводит к следующей разностной схеме:

;

.

Запишем неявный алгоритм Эйлера и решение относительно вектора в матричной форме

(24)

где 1 – единичная матрица.

Формула (24) позволяет последовательно вычислять значения реакций в узлах сетки, начиная с момента t = 0, для которого i_L(0) и u_C(0) заданы. Используя полученные значения матриц А и В (20), запишем решение (24) при постоянном воздействии e(t) = 1, нулевых начальных условиях и шаге дискретности h = 5∙10^-2:

(25)

Помимо рассмотренного алгоритма, в прикладных программах широко используются другие методы, например, Адамса, Рунге – Кутта и т.д. Компьютерное моделирование систем НВ осуществляется с помощью алгоритмов, в которых шаг интегрирования автоматически адаптируется к скорости протекания процесса. Системы ДВ моделируются в режиме постоянного шага дискретизации.