- •Санкт-Петербург
- •1.2. Способы составления уравнений состояния
- •1.3. Особенности формирования уравнений состояния
- •2.2. Дуальные цепи
- •3.2. Дискретные схемы замещения
- •4.2. Способы представления решения уравнений состояния
- •4.3. Решение уравнений состояния с помощью
- •4.4. Структурные схемы решения уравнений состояния
- •4.5. Особенности расчета переходных процессов
- •5.1.2. Определение переходных характеристик
- •5.1.3. Переходной процесс в режиме затухающих колебаний
- •5.2. Импульсная характеристика
- •5.3. Реакция четырехполюсника на линейное
- •5.4. Реакции на гармонический сигнал. Биения
- •6.2. Определение реакций на импульсные сигналы
- •6.3. Приближенное определение импульсной
6.2. Определение реакций на импульсные сигналы
В соответствии с формулой Дюамеля (62) выходная реакция четырехполюсника на прямоугольный импульс с параметрами Um, tи (см. рис.10) записывается для двух временных интервалов
где h1(t) – переходная характеристика, определяемая формулой (46).
Сигнал u1(t) можно представить в виде наложения смещенных во времени ступенчатых функций . Тогда реакция находится как сумма переходных характеристик, одна из которых задержана на время tи
.
Форма выходного сигнала u2(t) зависит от соотношения между параметрами переходной характеристики 1, 2 и длительностью импульса tи. Из графика u2(t) (рис.26) следует, что в интервале реакция совпадает с переходной характеристикой цепи. В области вынужденные реакции компенсируют друг друга и выходной сигнал определяется наложением только свободных составляющих.
Если длительность сигнала превышает время установления , то реакции цепи на фронт и срез импульса становятся независимыми. При дальнейшем увеличении длительности импульса выходное напряжение по форме приближается к реакции дифференцирующего звена. При уменьшении длительности сигнала реакция в интервале изменяется по линейному закону, как это имеет место при прохождении импульса через интегрирующую цепь.
Рассмотрим реакцию четырехполюсника на импульс кусочно-линейной формы (см. рис.10)
где ; Um – амплитуда; tи – длительность импульса.
Реакция находится по формуле (62), в которой в зависимости от интервала наблюдения:
(63)
где .
Реакция на первом интервале с точностью до множителя k совпадает с реакцией цепи на функцию единичного наклона . Первое слагаемое реакции на интервале учитывает состояние цепи в момент , обусловленное переходным процессом на первом интервале. При реакция определяется запасом энергии в цепи после прекращения действия импульса.
Реакцию цепи можно получить в более простом и наглядном виде, если записать входной сигнал в виде наложения смещенных во времени линейных напряжений
.
Тогда в соответствии с принципом суперпозиции выходной сигнал можно представить как сумму задержанных реакций на функцию единичного наклона:
. (64)
Первое слагаемое этого выражения совпадает с реакцией цепи на первом интервале в формуле (63).
На рис.27 показаны графики выходного сигнала и его составляющих , , . Расчет выполнен по формуле (64), в которой h2(t) определяется выражением (56). Из графиков видно, что прохождение сигнала ( , , ) через передающую цепь сопровождается искажением его формы и задержкой во времени. При увеличении длительности импульса проявляются дифференцирующие свойства четырехполюсника.
Найдем реакцию на кусочно-непрерывный сигнал в виде косинусоидального импульса, в котором имеются две точки разрыва
где ; – период колебаний частотой .
Поскольку в моменты t1 = 0 и t2 = T/2 имеет место ступенчатое изменение сигнала, то интеграл Дюамеля запишем в виде
Если представить входное напряжение в виде наложения задержанных сигналов, то приходим к другой форме записи реакции. Заданный сигнал можно рассматривать как сумму двух гармонических колебаний и , смещенных во времени на , .
Для нахождения общей реакции достаточно найти частную реакцию на первую составляющую входного сигнала и затем записать полную реакцию в соответствии с принципом суперпозиции
; .
Реакцию найдем с помощью интеграла Дюамеля
,
где ; ; – параметры переходной характеристики , определяемые по формуле (46).
Интегрирование приводит к выражению
,
где ; ; ; .
Установившаяся и свободная составляющие реакции u21(t) совпадают с соответствующими слагаемыми формулы (59), полученной классическим методом.
Приведенные примеры показывают, что представление интеграла наложения в виде суммы задержанных реакций на ступенчатые, линейные и гармонические сигналы, с помощью которых синтезируется исходный сигнал, позволяет упростить расчет и более наглядно отразить влияние на форму выходного сигнала соотношения между длительностью импульса и параметрами свободных процессов, к которым относятся постоянные времени цепи и период собственных колебаний. Метод интеграла Дюамеля наиболее удобен при вычислении реакций на сигналы, которые можно представить с помощью кусочно-ступенчатых и кусочно-линейных функций.
Если известна реакция на импульс , то реакцию на периодическую последовательность импульсов также можно найти методом наложения:
,
где Т – период следования импульсов.