- •Санкт-Петербург
- •1.2. Способы составления уравнений состояния
- •1.3. Особенности формирования уравнений состояния
- •2.2. Дуальные цепи
- •3.2. Дискретные схемы замещения
- •4.2. Способы представления решения уравнений состояния
- •4.3. Решение уравнений состояния с помощью
- •4.4. Структурные схемы решения уравнений состояния
- •4.5. Особенности расчета переходных процессов
- •5.1.2. Определение переходных характеристик
- •5.1.3. Переходной процесс в режиме затухающих колебаний
- •5.2. Импульсная характеристика
- •5.3. Реакция четырехполюсника на линейное
- •5.4. Реакции на гармонический сигнал. Биения
- •6.2. Определение реакций на импульсные сигналы
- •6.3. Приближенное определение импульсной
4.2. Способы представления решения уравнений состояния
В электротехнике приняты два способа представления решения дифференциальных уравнений цепей в зависимости от метода их решения. Рассмотрим особенности этих представлений на примере одномерного (скалярного) уравнения состояния относительно напряжения на С-элементе последовательного RC-контура, к которому приложено напряжение ,
, (29)
где – постоянная времени.
Применение метода вариации постоянных приводит к решению вида
. (30)
Первое слагаемое в уравнении (30) носит название реакции при нулевом воздействии (РНВ). Эта составляющая реакции определяется начальным состоянием цепи u(0) = U0 в момент t = 0+ и не зависит от внешнего сигнала. Второе слагаемое, называемое реакцией при нулевом начальном состоянии (РНС), определяется внешним воздействием и не зависит от начального состояния. Полная реакция является наложением РНС и РНВ
. (31)
Если принять e(t) = δ(t) и u(0) = 0, то формула (30) дает импульсную характеристику цепи . Поскольку h(t) с точностью до множителя совпадает с РНВ, то можно утверждать, что импульсная характеристика описывает свободный режим цепи, начальное состояние которой задается дельта-функцией.
Если множитель exp(at) внести под знак интеграла (30), то РНС определяется как свертка воздействия е(t) и импульсной характеристикой h(t)
. (32)
Рассмотренное представление (31) решения динамического уравнения (29) широко используется при описании систем автоматического управления.
Решение линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами можно также представить в виде суммы общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения. В задачах электротехники первое слагаемое решения называется свободной составляющей , второе – вынужденной составляющей
. (33)
Зависимость вынужденной составляющей от времени определяется видом функции e(t). В ряде случаев, например, когда e(t) является постоянной величиной или периодической функцией, вынужденную составляющую называют установившейся реакцией .
В свободной реакции (33) также можно выделить две составляющие: первая совпадает с РНВ, вторая обусловлена ступенчатым подключением цепи к источнику e(t) при нулевом начальном состоянии.
Связь между двумя способами представления реакции цепи видна из сравнения двух записей решения уравнения (29) в форме (31) и (33) при :
4.3. Решение уравнений состояния с помощью
матричных экспонент
Решение матричного уравнения переменных состояния (1) записывается по аналогии с решением скалярного уравнения (30):
, (34)
где A и B – матрицы уравнений состояния; e – вектор независимых источников.
Определим реакцию рассматриваемой цепи (см. рис.1) на действие источника постоянного напряжения , при нулевых начальных условиях. В этом случае интегрирование выражения (34) имеет вид
. (35)
При отыскании решения х главным является вычисление матричной экспоненты eAt, называемой матрицей перехода, или переходной матрицей. Из существующих методов вычисления матричной экспоненты рассмотрим метод, основанный на теореме Кели – Гамильтона. В соответствии с этим методом сначала вычисляют собственные значения i матрицы A из уравнения
где 1 – единичная матрица.
Для рассматриваемого примера последнее выражение имеет вид
;
. (36)
Откуда , .
Выражение для матрицы перехода в случае двух разных собственных чисел и имеет вид
, (37)
где и – неизвестные функции.
Для определения этих функций образуют полином
и составляют систему уравнений из условия
; .
Решение системы относительно функций и имеет вид
.
Подставив в это решение значения и , получим
.
С учетом полученного вектора выражение (37) принимает вид
.
После вычислений в формуле (35) получим решение
.
Приведем пример вычисления реакции x(t) с помощью символьного процессора системы MATLAB в соответствии с приведенным алгоритмом:
>>syms t
>>A = [–1/8, 5/4; –5/6, –11/3]; B = [1/4; 5/3];
>>I = [1,0;0,1]; R = inv(A); F = expm(t*A); U = 10;
>>X = (F – I)*R*B*U; vpa(X,3)
ans =
–22,2*exp(–0,447*t) + 2,2*exp(3,35*t) + 20,0]
–5,77*exp(–3,35*t) + 5,77*exp(0,447*t)].
Компьютерное моделирование динамических процессов может быть выполнено с помощью блока переменных состояний State-Space, который имеется в библиотеке Simulink системы MATLAB. Этот блок использован в разделе, посвященном приближенному определению импульсной характеристики четырехполюсника. В качестве входных данных блока State-Space используются элементы матриц A, B, C, D. Ввод элементов матриц в окно расчетного блока осуществляется следующим образом:
A = [–1/8 5/4; –5/6 –11/3]; B = [1/4; 5/3];
C = [0 1; 1/6 –11/3]; D = [0; 5/3].