5.1.2. Определение переходных характеристик

по схемам замещения

Если в цепи действуют источники напряжения / тока, которые изменяются по законам обобщенных экспонент, то расчет переходного процесса в цепях первого и второго порядка можно производить без составления дифференциальных уравнений по схемам замещения цепи для свободных и установившихся составляющих и схеме замещения для момента времени t = 0₊.

Характеристическое уравнение цепи (см. рис.1) находят по схеме замещения для свободных токов (рис.12). Эта схема получается из исходной цепи при замене источника напряжения элементом КЗ, L- и C-элементов – их сопротивлениями свободным токам Z_L = pL и Z_C = 1/pC.

Рассмотрим эту схему как результат предельного перехода U₁  0. В соответствии с методом контурных токов найдем ток I₁ и входное сопротивление Z_e(p)

(48)

где D_k(p) – определитель матрицы контурных параметров Z_k, в которой диагональные элементы – собственные сопротивления контуров, остальные – взаимные сопротивления со знаком минус; А₁₁(р) – алгебраическое дополнение.

При включении источника напряжения в другие контура получаются аналогичные выражения.

Из формулы (48) следует, что при U₁  0 ток I₁ отличен от нуля, если определитель D_k(p) = 0. Уравнение D_k(p) = 0 совпадает с характеристическим уравнением N(p) = 0.

Так как условие D_k(p) = 0 эквивалентно уравнению Z_e(p) = 0, то для получения характеристического уравнения достаточно найти входное сопротивление Z_e(p) относительно точек разрыва одной из ветвей и приравнять полученное выражение к нулю Z_e(p) = 0. Сопротивление Z_e(p) находится по правилам эквивалентного преобразования схем.

Из дуальных соотношений следует, что характеристическое уравнение может быть получено в виде Y(p) = 0, где Y(p) – входная проводимость относительно узлов какой-либо ветви.

Найдем Z_e(p) относительно точек разрыва ветви с резистором R₃:

.

После преобразований приходим к выражению (45) и соответствующим значениям собственных чисел р₁ и р₂.

Установившийся режим находят по схеме замещения цепи (рис.13), в которой С-элемент заменяется элементом ХХ, L-элемент – элементом КЗ.

Если напряжение источника изменяется по закону обобщенной экспоненты (38), то накопительные элементы заменяются их комплексными сопротивлениями. Из схемы замещения следует, что , .

Расчет зависимых начальных условий и производится по схеме цепи для момента времени t = 0₊ (рис.14), в которой С-элемент заменяется источником напряжения u_C(0₊), а L-элемент – источником тока i_L(0₊).

При нулевых начальных условиях C-элемент заменяется КЗ, L-элемент – разрывом. Из схемы следует

При u₁ = 1 этим выражениям соответствуют элементы b₁₁ и b₂₁ матрицы В. Начальные значения свободных составляющих и реакции находятся так же, как в разделе 5.1.1.

Форма переходных характеристик (рис.15) объясняется конкурирующим влиянием на процесс свободных составляющих с различными постоянными времени, определяющих переходные искажения. Отличия реакций h₁(t) от входного сигнала 1(t) состоят в уменьшении крутизны фронта, запаздывании реакций и, в случае нулевого установившегося значения, – в импульсном характере реакции.

К параметрам переходных характеристик относятся: время нарастания t_н, время запаздывания t_з, максимальное U_max и установившееся значение U_y, превышение U_max над U_y, время установления t_y, время спада t_c в случае U_y = 0.

Выходная характеристика u_C(t) принимает максимальное значение U_max в момент времени t_m

Для нахождения временных параметров t_н, t_з, t_c определяют моменты времени t_0,1, t_0,5, t_0,9, в которых u(t_0,1)/U_max = 0,1, u(t_0,5)/U_max = 0,5, u(t_0,9)/U_max = 0,9.

Время запаздывания t_з определяют по 10-процентному критерию t_з = t_0,1 = 0,03 или 50-процентному критерию t_з = t_0,5 = 0,14. За время нарастания t_н реакция возрастает от 0,1 до 0,9U_max: t_н = t_0,9 – t_0,1 = 0,38. За время спада t_c реакция u_C(t) снижается от 0,9 до 0,1U_max: t_c = 5,1. Нормирование других характеристик i_L(t) и i_i(t) производится относительно установившихся значений.

Переходная функция и ее параметры t_з, t_н и t_c непосредственно характеризуют искажения прямоугольных импульсов, которые можно представить в виде наложения ступенчатых функций (см. рис.10). Поэтому импульсы наряду с частотными характеристиками широко используются для описания качества устройств. В сочетании с интегралом Дюамеля переходная функция позволяет определить форму выходного сигнала при любой форме входного сигнала.