5.3. Реакция четырехполюсника на линейное

напряжение

Сигналы, линейно изменяющиеся во времени, широко используются в электротехнике, например, для преобразования напряжения во временной интервал, развертывания сигналов во времени и т.д.

Для определения реакции цепи (см. рис.1) на сигнал u₁(t) = kt воспользуемся уравнениями (12), (13), которым соответствуют матрицы А, В, С, D. Собственные числа цепи действительные р₁ = –0,45, р₂ = –3,35, свободная составляющая изменяется по апериодическому закону .

Закон изменения установившейся реакции задается формой входного сигнала , где – неизвестные коэффициенты.

Для определения параметров a и b подставим в уравнение (12) и приравняем коэффициенты при нулевой и первой степенях переменной t слева и справа от знака равенства

Используя значения матриц А и В, получим , .

С учетом начальных значений реакций решение системы (43) относительно постоянных интегрирования дает , .

Полагая k = 1, находим реакцию цепи на сигнал с единичным угловым коэффициентом h₂(t):

. (56)

Входная реакция изменяется по закону

. (57)

Из графиков токов и напряжений (рис.20) следует, что установившиеся токи индуктивности и источника изменяются по линейному закону с угловым коэффициентом k = 2. Эти реакции запаздывают по отношению к входному сигналу на время и соответственно. Установившееся значение напряжения на С-элементе от времени не зависит. Переходной процесс в основном определяется свободной составляющей с постоянной времени ₁ = 2,2.

5.4. Реакции на гармонический сигнал. Биения

Если входной сигнал и свободная реакция цепи имеют вид обобщенных экспонент (38), то вблизи резонанса переходной процесс может иметь ряд особенностей. Рассмотрим сначала реакцию цепи (см. рис.1) на гармонический сигнал при действительных значениях собственных чисел p₁ = –0,45 и p₂ = –3,35.

Амплитуда X_m и начальная фаза _x установившихся реакций определяются символическим методом, основанным на представлении гармонической функции в виде

, .

Комплексные амплитуды находят из системы алгебраических уравнений, которые получаются из исходной системы (12) путем замены оператора дифференцирования множителем , а функций времени , – комплексными амплитудами

; , (58)

где 1 – единичная матрица;

Используя значения матриц А, В, С, D (20) и полагая , получим

; ; .

Комплексные амплитуды могут быть определены непосредственно по схеме замещения (рис.21), которая получается из исходной путем замены L- и С-элементов комплексными сопротивлениями и .

Комплексные амплитуды токов и напряжений определим методом эквивалентных преобразований с последующим использованием формул деления токов и напряжений.

Для , , и находим эквивалентные сопротивления участков цепи при ее последовательном упрощении:

; ;

.

Комплексная амплитуда тока источника определяется по закону Ома

.

Комплексные амплитуды токов L- и R₃-элементов определяются по формулам деления тока

, .

Выходная реакция находится по формуле деления напряжения:

, .

Токи нагрузки и емкости

, .

Векторные диаграммы токов и напряжений (рис.22) подтверждают правильность расчета.

Временные зависимости установившихся реакций находим по формуле :

;

.

Для определения постоянных интегрирования Х₁ и Х₂ вычислим значения , x_y(0₊), в начальный момент t = 0₊ при u₁(0) = 10 при нулевых начальных условиях х(0₊) = 0:

.

Используя формулу (44), в которой р₁ = –0,45, р₂ = –3,35, получим начальные значения свободных составляющих

X₁ = [I₁, U₁]^T = [–0,31,  0,11]^T; X₂ = [1,1,  –3,1]^T.

Запишем реакцию цепи на сигнал

. (59)

Из формул следует, что начальные значения I₁, U₁ свободных составляющих с постоянной времени ₁ = 2,22 малы по сравнению с константами I₂, U₂ и амплитудами I_Lm, U_Cm. Поэтому переходной процесс (рис.23) определяется в основном экспонентами с постоянной времени ₂ = 0,3. При изменении начальной фазы источника _и соотношения между составляющими переходного процесса изменятся.

Переведем переходной процесс четырехполюсника в режим свободных колебаний с малым затуханием  = 0,02 за счет изменения параметров резисторов R₁ = R₂ и R₃. Из выражения (49) для коэффициента демпфирования находим, что такой режим существует при R₁ = R₂ = 60, R₃ = 0,01, L = 2/3, C = 1. В этом случае корни характеристического уравнения комплексно-сопряженные , постоянная времени , период собственных колебаний .

Найдем выходную реакцию четырехполюсника u₂(t) на гармонический сигнал , , , частота которого близка к частоте собственных колебаний _d = 1,225.

Следуя схеме расчета классическим методом, получим реакцию цепи в нормированном виде

,

где , – параметры установившегося режима.

Из графика реакции (рис.24) следует, что переходной процесс характеризуется немонотонным изменением огибающей D(t) и фазы (t) выходного сигнала . Для получения модулирующих функций D(t) и (t) запишем реакцию в иной форме

.

Учитывая выражение для мнимой части произведения двух комплексных чисел, получим

;

,

где – частота биений.

После преобразований приходим к искомому решению

Выражения D(t) и (t) описывают медленное изменение амплитуды и фазы реакции (рис.25), которое происходит по закону затухающих колебаний. Параметры колебаний зависят от соотнош ения частот _s и _d. При совпадении частот (_s = _d) биения исчезают, нарастание амплитуды колебаний происходит монотонно по закону при (t) = 0.

Другим примером переходного процесса в режиме биений может служить импульсная характеристика связанных колебательных контуров, собственные частоты которых отличаются незначительно.

6. Интегралы наложения

6.1. Способы аппроксимации сигналов и реакций

Непрерывный сигнал e(t) можно рассматривать как последовательность непрерывно следующих импульсов e_k(t), амплитуды которых на интервале дискретности изменяются по закону непрерывного сигнала. Значения сигнала в узлах временной сетки t_k = kT_d образуют решетчатую функцию e[k]. При малом значении T_d моделью импульса e_k(t) может служить дельта-функция

Тогда непрерывный сигнал можно заменить его аппроксимацией в виде периодической последовательности дельта-функций, коэффициенты при которых равны произведению периода дискретности T_d на значение решетчатых функций e[k]:

.

Приближенное равенство означает, что измерительный прибор с ограниченной разрешающей способностью будет воспринимать оба сигнала e(t) и e_a(t) одинаково.

Реакцией на сигнал является импульсная характеристика h(t). В соответствии с принципом суперпозиции находим реакцию на сумму элементарных сигналов

. (60)

При устремлении интервала дискретизации к нулю приближенная реакция становится точной

. (61)

Поскольку выражение (60) представляет собой сумму взвешенных и задержанных импульсных реакций, то интеграл (61) часто называют интегралом наложения. Реакция находится с помощью свертки сигнала e(t) с импульсной характеристикой цепи h(t).

Другой способ приближенного представления непрерывного сигнала e(t) состоит в использовании задержанных ступенчатых функций . Высота каждой ступеньки E_k равна разности решетчатых функций. При малом значении T_d приращение сигнала на интервале дискретности . В этом случае аппроксимация сигнала принимает вид

.

В технических системах такой сигнал получают путем выборки значений непрерывного сигнала e(t) в моменты kT_d и сохранении этих значений на время такта T_d.

На основании принципа суперпозиции приближенная реакция может быть представлена суммой взвешенных и задержанных переходных характеристик. При устремлении интервала T_d к нулю получаем интеграл Дюамеля:

, (62)

где е(0) – ступенчатое изменение сигнала в момент t = 0₊.

Если в момент t₁ > 0 сигнал e(t) претерпевает скачок , то в выражении (62) появляется дополнительное слагаемое . В случае кусочно-гладкого сигнала интеграл Дюамеля вычисляют для каждого интервала непрерывности с учетом вклада реакций, вычисленных на предшествующих интервалах.

Найдем реакции четырехполюсника на сигналы различной формы и выделим те из них, для которых применение интегралов наложения является наиболее эффективным.