1.2. Способы составления уравнений состояния

Напряжение на индуктивном элементе и ток емкостного элемента связаны с переменными состояния и дифференциальными соотношениями

;   . (3)

Поэтому для получения уравнений цепи относительно переменных состояния в форме матричных уравнений (1) и (2) достаточно выразить напряжение и ток через переменные , и независимые источники. Для этого в соответствии с принципом компенсации C-элемент заменяется зависимым источником напряжения, а L-элемент – зависимым источником тока. При такой замене цепь становится резистивной, допускающей использование методов расчета цепей постоянного тока.

Составим динамические уравнения цепи (рис.1, а). Примем в качестве входной реакции ток источника , в качестве выходной – напряжение нагрузки .

Преобразуем исходную схему, заменив в ней C-элемент зависимым источником напряжения, L-элемент – зависимым источником тока (рис.1, б), и выразим ток и напряжение в виде

; . (4)

В соответствии с методом узловых потенциалов запишем уравнение для узла 2

, (5)

где – проводимость.

Ток С-элемента может быть представлен в форме (4) с помощью закона Кирхгофа для узла 3

; . (6)

После решения уравнения (5) относительно и использования формул (3) и (6) получим искомую форму системы дифференциальных уравнений

; (7)

. (8)

Выходная реакция совпадает с переменной состояния . Входная реакция находится по закону Ома:

.

Используя выражение (5) для получим

. (9)

Составление уравнений состояния на базе законов Кирхгофа является более формализованным и универсальным методом.

Выделим в направленном графе цепи (рис.2) ветви дерева (сплошные линии) и ветви связи – хорды (пунктирные линии). В качестве ветвей дерева используются ветви с источниками напряжения и ветви с C-элементами. Ветви связи формируют из ветвей L-эле­ментов и источников тока. Ветви с R-элементами могут быть отнесены к ветвям дерева или хордам в зависимости от топологии цепи.

Далее составляются уравнения равновесия токов в главных сечениях S₁ и S₂ и уравнения равновесия напряжений в главных контурах:

; ;

; ;

.

Уравнения, в которые входят ток и напряжение , являются основными для составления уравнений состояния

. (10)

Оставшиеся уравнения используют для выражения токов , и через переменные состояния и независимые источники

. (11)

Используя решение системы уравнений (11) относительно i₁ и i₃,

а также выражения для и (3) и (10), получим уравнения относительно переменных состояния в требуемой форме Коши

. (12)

Дополнительные уравнения для выходной и входной реакций принимают вид

, (13)

где , .

Из системы уравнений (12) можно получить два уравнения второго порядка относительно i_L и u_C

; (14)

. (15)

где ; ; ; ; ; .

Коэффициенты при производных в левой части обоих уравнений одинаковы и совпадают с коэффициентами при соответствующих степенях характеристического полинома.

Для составления уравнений состояния может быть использован также принцип суперпозиции (метод наложения), в соответствии с которым искомые величины u_L, i_C, u₂, i₁ находятся как сумма вкладов источников i_L, u_C и u₁

где u_LL и u_LC – вклады зависимых источников i_L и u_C; u_L1 – вклад независимого источника u₁.

Каждый вклад определяется без учета действия других источников по схемам замещения, в которых неучитываемый источник напряжения заменяется элементом короткого замыкания (КЗ), а неучитываемый источник тока – элементом холостого хода (ХХ).

В соответствии со схемами замещения (см. рис.1) находим вклад источника i_L

Вклад источника u_C

; ; ; .

Вклад источника u₁

; ; .

В этих выражениях коэффициенты при i_L, u_C и u₁ являются элементами матриц A, B, C, D в формулах (12), (13), полученных по законам Кирхгофа.

Составление уравнений цепи в форме (1) и (2) по методу эквивалентных источников предполагает замену цепи относительно каждого из элементов L, C, R₂, R₁ активными двухполюсниками с напря­жением холостого хода u_х, выходным сопротивлением R_i и последующее определение искомых величин u_L, i_C, u₂ и i₁ по закону Ома.

Запишем параметры активного двухполюсника и напряжение L-элемента

Ток С-элемента определяется аналогично