4.4. Структурные схемы решения уравнений состояния

Аналоговые компьютеры являлись в свое время эффективным средством анализа сложных динамических систем в реальном и измененном масштабе времени. Основные математические операции суммирования, интегрирования, смещения во времени и др. выполнялись с помощью аналоговых электронных схем. Для решения конкретной задачи отдельные блоки соединялись в сложную цепь в соответствии со структурной схемой решения динамических уравнений.

Структурные схемы как аналог дифференциальных уравнений в настоящее время остаются распространенным способом представления динамических систем НВ. Для описания систем ДВ используют структурные схемы дискретного типа, например, в виде комбинации трансверсальных и рекурсивных структур, отражающих алгоритм решения разностных уравнений и лежащих в основе работы цифровых устройств.

Метод структурных схем является также одним из способов компьютерного моделирования динамических систем. Построим структурную схему (рис.11) решения уравнений состояния (12) с использованием вычислительных блоков библиотеки Simulink системы MATLAB в соответствии с алгоритмом решения

Функции f₁ и f₂ представляют собой суммы взвешенных значений переменных состояния i_L, u_C и источника сигнала u₁. Поэтому структурная схема включает интеграторы, сумматоры, масштабные преобразователи и источник сигнала. Веса слагаемых учтены с помощью масштабных преобразователей, коэффициенты которых равны соответствующим элементам матриц A, B, C, D.

В структурной схеме предусмотрено вычисление и регистрация переменных состояния i_L, u_C и входной реакции i₁ на действие прямоугольного импульса. Схемы формирования кусочно-линейных и кусочно-гармонических сигналов аналогичны схеме получения прямоугольного импульса.

4.5. Особенности расчета переходных процессов

классическим методом

В классическом методе расчета переходных процессов реакция x(t) представлена в виде наложения свободной x_св(t) и установившейся x_у(t) составляющих: x(t) = x_св(t) + x_у(t).

Для практически важных случаев задача определения x_у(t) сводится к вычислению параметров функций, общий вид которых задается временной зависимостью входного сигнала u₁(t). К таким сигналам относятся постоянное и линейно нарастающее напряжение, напряжение, изменяющееся по закону обобщенной экспоненты

, (38)

где U_m, _u,  – амплитуда, начальная фаза и частота колебаний соответственно;  – постоянная затухания.

В линейных цепях частоты сигнала и реакций совпадают. Неизвестные параметры вынужденных составляющих находят методом неопределенных коэффициентов или методом комплексных амплитуд.

Частными случаями выражения (38) являются следующие сигналы:

 экспоненциальный ;

 гармонический ;

 постоянный .

Обобщенная экспонента по форме совпадает со свободной составляющей x_св(t) = Xexp(pt), параметры которой X, p зависят от топологии цепи и от ее параметров R, L, C, M. В случае близости параметров сигнала и параметров свободной реакции возникает резонансное решение. Потому в анализе цепей сигнал в виде обобщенной экспоненты играет особую роль.

Параметры свободной составляющей р и X находятся из характеристического уравнения N(p) = 0 и начальных условий, число которых n совпадает с порядком дифференциального уравнения.

Характеристическое уравнение получают путем приравнивания нулю определителя системы алгебраических уравнений относительно X, которая возникает после подстановки x_св(t) = Xexp(pt) в исходную систему (1) при e(t) = 0.

Запишем общий вид характеристического уравнения для цепи второго порядка и его решение:

(39)

где – обобщенный коэффициент демпфирования, p_1,2 – собственные числа / частоты цепи.

В зависимости от значения параметра  возможны три случая протекания переходного процесса.

Апериодический режим возникает при  > 1, когда корни действительные и отрицательные p₁  p₂. Свободная реакция имеет две составляющие

. (40)

Режим затухающих колебаний возможен при  < 1, когда корни комплексно-сопряженные числа

где _d – частота колебаний;  – постоянная времени.

Постоянные интегрирования также являются комплексно-сопряженными X₁ = X, X₂ = X^*. Свободную составляющую записывают в форме (40) или в виде

, (41)

где А, В – новые постоянные интегрирования.

Критический режим соответствует условию , когда р₁ = р₂ = р. В случае кратных корней свободная составляющая изменяется по закону

. (42)

Для определения начальных значений X₁ и X₂ свободных составляющих x_св(0) = X₁ + X₂ составляют систему уравнений, приравнивая выражения для переменных состояния и их производных независимым x(0₊) и зависимым x'(0₊) начальным условиям. В случае разных корней получим

. (43)

Постоянные интегрирования зависят от значений собственных чисел цепи p₁ и p₂, ее начального состояния x(0₊), x'(0₊) и значений установившейся реакции , в момент времени t = 0₊:

, (44)

где .

5. Классический метод определения реакций цепи на стандартные сигналы

5.1. Переходные характеристики

5.1.1. Решение системы уравнений состояния

Рассмотрим основные этапы аналитического определения переходных характеристик цепи относительно переменных состояния x = [i_L, u_C]^T, x = x_св + х_у, входной и выходной реакций y = = [u₂, i₁]^T, y = y_св + у_у. Цепь описывается системой уравнений (12), (13) и матрицами А, В, С, D (20). Входной сигнал задан функцией Хевисайда u₁(t) = 1(t), независимые начальные условия нулевые х(0) = 0.

Общее решение системы (12) ищем в виде , где – вектор начальных значений свободных составляющих. Подстановка x_св(t) в уравнения (12) при u₁(t) = 0 приводит к однородной системе для постоянных интегрирования Х

или ,

где a_i,j – элементы матрицы А; 1 – единичная матрица.

Постоянные Х отличны от нуля, если определитель матрицы коэффициентов равен нулю

,

где .

Используя выражения коэффициентов a_ij через параметры цепи (12)-(15) получим

(45)

где

Для нормированных параметров R₁ = R₂ = 0,5, R₃ = 0,1, L = 2/3, C = 1 вторичные параметры  = 1,9;  = 1,55.

Поскольку  > 1, то корни уравнения (39) действительные: . Этим корням соответствуют две постоянные времени ₁ = 2,23 и ₂ = 0,3, определяющие скорость изменения свободных составляющих

Длительность переходного процесса t_y определяется составляющей с наибольшей постоянной времени t_y = 3₁ = 6,68. За время t_y эта составляющая снизится до 5 % от начального значения Х₁.

После затухания свободных составляющих t > t_y в цепи устанавливается режим постоянного тока х(t) = x_y = const. Установившийся режим х_у = [i_Ly, u_Cy]^T находим из исходной системы, в которой

.

Учитывая начальные условия х(0₊) = 0 и х'(0₊) = Bu₁, u₁ = 1, запишем систему уравнений для постоянных интегрирования

При известной правой части (i_Ly = 2, u_Cy = 0, b₁₁ = 1/4, b₂₁ = 5/3) и известных коэффициентах p₁ = –0,45 и р₂ = –3,34 находим I₁ = –2,22, I₂ = 0,224 и U₁ = 0,576, U₂ = –0,576.

Используя обозначение переходной характеристики h₁(t), запишем искомые реакции

. (46)

Выходная реакция u₂(t) совпадает с переменной состояния u_C(t). Входная реакция определяется по формуле (13)

(47)

где с₂₁, с₂₂, d₂₁ – элементы матриц С и D.