4. Введение в математический анализ

4.1. Понятие функции и аргумента Математический анализ изучает переменные величины и функциональные зависимости между ними.

Переменные величины - это величины, принимающие различные значения. Все значения переменной величины образуют множество ее значений.

Введем понятие функции. Пусть мы имеем две переменные. Одна независимая переменная х принимает произвольные значения, образующие числовое множество D. Другая зависимая переменная у принимает значения в зависимости от значений х. Множество значений у образует числовое множество Е.

Определение: Функцией y=f(x) называется закон или правило, по которому каждому численному значению переменной х из множества D (хD) ставится в соответствие вполне определенное численное значение переменной у из множества Е (уЕ).

Независимая переменная х называется аргументом, а зависимая переменная у называется функцией. Множество значений независимой переменной D называется областью определения функции, а множество значений зависимой переменной Е называется множеством значений функции.

С имвол f означает то правило, по которому множество значений независимой переменной х преобразуется во множество значений другой переменной у. Показывают .

Функцию можно наглядно представить в виде "черного ящика", который преобразует каждое входное значение х в выходное значение у.

Функция считается заданной, если указано правило, по которому определяется значение функции у по заданному значению аргумента х.

Существуют следующие способы задания функции:

1. Аналитический с помощью формул.

2. Графический с помощью графиков.

3. Табличный с помощью таблиц.

4. Программный с помощью алгоритмических языков программирования.

5. Описательный с помощью текста.

Наиболее распространен аналитический способ задания функции с помощью математических формул.

Например: 1) ; 2) у = log₃(4-2x); 3) у = .

Задав аргументу конкретное значение х=х₀ из области определения функции (D), по формуле можно вычислить значение функции y=f(x₀), которое называется частным значением функции.

При исследовании функции, заданной аналитическим способом, важно знать область определения функции (D).

Определение: Областью определения функции (D), заданной аналитическим способом, называется множество значений аргумента х, для которых можно рассчитать частные значения функции у=f(x), т.е. в области D функция принимает действительные значения

При нахождении области определения функции существует ряд ограничений, таких как:

1. Под знаком четного корня должна быть неотрицательная величина.

Например, функция определена при условии , так как у²= х-1 0. Откуда . Тогда область определения функции будет: D(f) = .

2. Под знаком логарифма должна быть положительная величина.

Например, функция у = log₃(4-2x) определена при условии , так как обратная показательная функция 3^у=(4-2x) всегда положительная величина. Откуда следует: 4-2x>0. Решим это неравенство: –2х>- 4, разделим обе части на –2, знак неравенства при этом сменится на противоположный. Получим: х<2. Тогда область определения функции будет: D(f) = .

3. Величина, находящаяся в знаменателе, не должна обращаться в ноль (деление на ноль запрещено).

Пример: Найти область определения функции: у = .

Решение: В этой формуле имеются два ограничения 1. и 3. Составим и решим систему из двух неравенств: .

Тогда область определения функции будет: D(f) = .