4.7.6. Общая схема исследования функций и построения графиков

Общая схема исследования функций и построения графиков включает следующие этапы:

1. Находится область определения функции D(y);

2. Находятся точки пересечения графика функции с осями координат: у(0) и у(х)=0 и определяются интервалы знакопостоянства функции;

3. Определяются точки разрыва функции, в которых нарушаются условия непрерывности, и вычисляются односторонние пределы в этих точках;

4. Находятся вертикальные асимптоты в точках бесконечного разрыва, а также наклонные и горизонтальные асимптоты при х  ∞;

5. Находятся критические точки первого рода, в которых первая производная равна нулю или не существует, и определяются по знаку этой производной интервалы монотонности, а по изменению знака определяются точки локального экстремума;

6. Находятся критические точки второго рода, в которых вторая производная равна нулю или не существует, и определяются по знаку этой производной интервалы выпуклости и вогнутости, а по изменению знака определяются точки перегиба;

7. Строится график функции, используя полученные результаты исследования. При необходимости рассчитывают несколько контрольных значений функции по её формуле.

Пример выполнения контрольной работы по темам 1-4

Предлагаемый пример является одним из вариантов контрольной работы, предназначенной для студентов заочного отделения, а также используемой, как сводная контрольная для студентов дневного отделения.

Контрольная работа включает четыре задания по первым четырем темам курса.

Контрольная работа

ЗАДАНИЕ 1: Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Решение:

1) Вычислим определители системы и неизвестных , _х, _у и _z.

2) Найдем решение системы по формулам Крамера:

х₀ ; у₀ = z₀ =

П роверка: (верно).

Ответ: (х₀=0, у₀= -1, z₀=2)-точка пересечения плоскостей.

ЗАДАНИЕ 2: Даны три точки А(2;-1), В(3;0), С(4;1).

Найти вектор:

Решение:

1) Найдем координаты векторов:

2. Выполним операции над векторами:

ЗАДАНИЕ 3: Записать уравнения: 1) стороны АС, 2) высоты CD и 3) медианы ВЕ в треугольнике с вершинами А(-8;3), В(-6;0), С(6;-5).

Р ешение:

1) Составим уравнение стороны АС, используя уравнение прямой, проходящей через две заданные точки:

   14*(у - 3)=(-8)*(х + 8) 

8х + 14у + 22=0 – искомое уравнение стороны АС;

2) Высота CD АВ  .

Найдем и

Составим уравнение высоты CD, используя уравнение прямой, проходящей через заданную точку С(6;-5) с заданным угловым коэффициентом : - искомое уравнение высоты CD с угловым коэффициентом. Запишем его в общем виде, умножив обе части уравнения на 3: 2х-3у-27=0- общее уравнение высоты CD;

3) Медиана ВЕ проходит через середину стороны АС. Найдем координаты Е(х_Е;у_Е)-середины отрезка АС по формулам: . Е (-1;-1) - середина стороны АС.

Составим уравнение медианы ВЕ, используя уравнение прямой, проходящей через две заданные точки:

   5у = -х-6 

х + 5у + 6=0 – искомое уравнение медианы ВЕ;

ЗАДАНИЕ 4: Продифференцировать функцию: .