4.3. Непрерывность функции и точки разрыва

Определение: Функция у=f(х) называется непрерывной в точке х=х₀, если выполняются три условия:

1. Функция определена в точке х₀, т.е. существует частное значение функции f(x₀);

2. Существуют равные правый и левый пределы функции в точке х₀;

3. Эти пределы равны частному значению функции в этой точке, т.е.

Е сли в точке х₀ не выполняется хотя бы одно из указанных условий, то точка х₀ называется точкой разрыва. Различают два вида разрывов: разрывы I и II рода.

К точкам разрыва I рода относят точки скачка функции, когда

существуют правый и левый пределы функции, но они не равны друг другу: . Величина h= называется величиной скачка.

К точкам разрыва II рода относят точки бесконечного разрыва, в которых предел функции равен бесконечности. Так, функция имеет точку бесконечного разрыва II рода в точке х₀=0, т.к. .

Отметим, что все элементарные функции и их комбинации непрерывны в области их определения.

4.4. Производная функции

Переходим к дифференциальному исчислению. Дифференциальное исчисление основывается на понятии производной функции.

Введем понятие производной функции. Пусть на некотором множестве D задана непрерывная функция у = f(х). Возьмем произвольную точку х из этого множества (хD) и дадим аргументу приращение х. Причем так, чтобы (х+ х)D При этом функция получит приращение: .

Определение: Производной функции у = f(х) называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента , когда приращение аргумента стремится к нулю .

Производная обозначается: .

Е сли функция у = f(x) имеет конечную производную в каждой точке множества D, то производная является также функцией от х. Название производной можно рассматривать как функцию, произведенную от исходной функции у = f(x).

геометрический и физический смысл производной

Геометрически производная определяет угловой коэффициент касательной к графику функции у=f(x), т.е. .

Пусть на графике функции у = f(x) задана точка М₁(х₁,у₁). Проведем касательную K и нормаль N к графику функции в заданной точке. Нормаль – это прямая перпендикулярная к касательной.

Угловой коэффициент касательной равен значению производной в заданной точке , а угловой коэффициент нормали из условия N┼K равен .

Тогда можно записать уравнения касательной и нормали к графику функции в заданной точке М₁(х₁,у₁), используя уравнение прямой, проходящей через заданную точку с заданным угловым коэффициентом:

- ур. касательной; - ур. нормали.

Физический смысл производной заключается в том, что она определяет мгновенную скорость движения.

Пусть материальная точка двигается по закону у = f(t), где у - пройденный путь за время t. Тогда скорость движения в момент времени t = t₀ , будет равна:

.

Ниже будет дан пример расчета скорости и ускорения, исходя из физического смысла первой и второй производных.

4.5. Дифференцирование функций

Определение: Функция у = f(x) называется дифференцируемой на множестве D, если в каждой точке этого множества существует конечная её производная, т.е. для каждого хD существует конечный предел .

Дифференцирование функции – это означает нахождение её производной.

Теорема. Для того, чтобы функция у = f(x) была дифференцируемой на множестве D необходимо и достаточно, чтобы в каждой точке хD этого множества приращение функции ∆у можно было представить в виде: ∆у=А*∆х+α(∆х)*∆х, где А – множитель, который определяется значением производной в точке х: А=f^/(x); α(∆х) – б.малая функция при ∆х0.

Действительно, если ∆у=А*∆х+α(∆х)*∆х, то существует конечный предел:

.

дифференциал функции

Определение: Дифференциалом функции у=f(x) называется главная линейная часть приращения функции, которая обозначается в виде:

dy= А*∆х=f ^/(x)* ∆х.

Если возьмём линейную функцию у=х, то дифференциал этой функции будет равен: dх=(x)^/* ∆х=1*∆х=∆х или dх =∆х, т.е. дифференциал аргумента равен его приращению.

Тогда дифференциал любой функции будет равен: dy=f ^/(x)*dх. Откуда производную можно представить в виде отношения дифференциала функции к дифференциалу аргумента: .

Используя обозначение дифференциала, приращение функции можно представить в виде: ∆у=dy+α(∆х)*∆х. Второй нелинейный член приращения: α(∆х)*∆х является б.малой величиной более высокого порядка, чем ∆х и ввиду его малости можно отбросить из выражения. Тогда приращение функции приблизительно равно её дифференциалу: ∆у  dy = f^/(x)* ∆х.

Если представить приращение функции в виде: ∆у=f(x+∆х)-f(x)  f^/(x)* ∆х, тогда можно записать f(x+∆х) f(x) + f^/(x)* ∆х. Данная формула используется для приближенного расчета значения функции в точке x+∆х по известному значению в точке х.

Теорема о связи между дифференцируемостью и непрерывностью функции. Если функция y=f(x) является дифференцируемой в точке х, то в этой точке она непрерывна.

Отметим, что всякая дифференцируемая на множестве D функция является непрерывной на этом множестве. Однако обратное утверждение не верно – не всякая непрерывная функция является дифференцируемой.

Таблица производных элементарных функций

1. С^/= 0, где С = const 2. , где показатель -число 3. 4. , где е = 2,71... 5. 6. 7.

8. 9. 10. 11. 12. 13. 14.

Основные правила дифференцирования

Пусть даны две дифференцируемые функции: f(x) и (x).

1. Правило дифференцирования суммы, разности функций:

;

2. Правило дифференцирования произведения:

;

3. Правило дифференцирования частного (дроби):

.

4. Правило дифференцирования сложной функции.

Пусть дана функция у = f(u), где u = u(x) - промежуточный аргумент или промежуточная функция. Тогда у=f(u(x)) называется сложной функцией. Производная от сложной функции вычисляется по формуле: .

Пример: , т. к. (sin u)^/=(sinu)^/* u^/ где u = x³.