§8 Нули аналитических функций
Пусть функция
является аналитической в точке
.
Точка
называется нулем функции
,
если ее значение в этой точке равно
нулю
.
В окрестности нуля функции в разложении
её в ряд Тейлора свободный член
. Если в разложении отсутствуют и
слагаемые, содержащие степени
разности
до
−й
степени, то разложение имеет вид
или
(2.32)
Точка называется нулем порядка функции . Нуль первого порядка называется простым нулем. Правую часть равенства (2.32) можно записать в виде произведения:
или
,
где
второй множитель можно рассматривать
как степенной ряд, сходящийся в точке
, поэтому его сумма – функция, аналитическая
в точке
; обозначим ее
.
Тогда из (2.32) получаем
представление функции
в виде
(2.33)
Кроме того, используя формулу коэффициентов
ряда Тейлора
,
получим справедливые условия для нуля порядка функции в точке :
,
,
. (2.34)
Следовательно, порядок нуля функции определяется порядком первой производной, отличной от нуля в этой точке.
Пусть функция
задана в виде произведения
и точка
является нулем порядка
для
и нулем порядка
для
. Используя условие (2.33)
для этих функций, можно записать
,
,
,
(2.35)
Это означает, что порядок нуля функции в точке , полученный в результате умножения аналитических функций, равен сумме порядков нуля в этой точке функций − сомножителей.
Сформулируем вывод в виде следующих утверждений.
1) Точка является нулем порядка функции , если для коэффициентов ряда Тейлора в ее разложении по степеням справедливы равенства
,
,
2) Следующие условия являются необходимыми и достаточными условиями нуля порядка функции в точке :
а)
б)
Замечание 1
Если
функция не определена в точке
, но
,
то после доопределния функции в точке
:
точку
тоже называют нулем функции.
Например, для функции
,
доопределенной
в точке
точка
является нулем.
Замечание 2
Пусть
функция
представлена в виде отношения
аналитических в точке
функций и
является нулем порядка
для
числителя и нулем порядка
−
для знаменателя. При условии
,
доопределив функцию
, как и выше, получим,
− нуль функции
.
Используя условие (2.33) для функций
и
,
получаем равенство
,
или
,
где функция
−
аналитическая в точке
,
так как
и
– аналитические в этой точке и
. Кроме того,
,
так как
.
Следовательно, для функции
точка
является нулём порядка
.
Порядок нуля частного равен разности
– из порядка нуля числителя вычитается
порядок нуля знаменателя.
Алгоритм нахождения нулей аналитических функций и определения их порядков.
1)
Найти нули аналитической функции
, решая уравнение
2) Определить порядок каждого полученного нуля . Для этого выполнить одно из следующих действий:
а) разложить
в ряд по степеням
.
Младшая степень разности
,
присутствующая в разложении (2.32),
определяет порядок нуля
;
б) найти производные
и их значения в нуле
функции
.
Порядок нуля
функции
определяется порядком первой, не равной
нулю в точке производной;
в) записать функцию в виде произведения (2.33); степень разности в этом произведении определяет порядок нуля ;
г) записать функцию в виде произведения более простых функций и для каждой из них определить порядок нуля по одному из изложенных в предыдущих пунктах правилу. Порядок нуля произведения равен сумме порядков нуля сомножителей.
3. Для функции , не определенной в точке , но удовлетворяющей в этой точки условию , определить порядок нуля по правилам, изложенным в п.2 или в соответствии с замечанием 1.
Пример 1.
Определить нули и их порядки функции
1)Раскладываем
многочлен на множители:
,
или
.
Находим нули функции:
,
,
,
.
Разложение многочлена на линейные
множители имеет вид
.
2)
Определяем порядок каждого нуля,
используя для этого формулу (2.33). Для
точки
из равенства
,
,
получаем, что
− нуль второго порядка; для точки
из равенства
,
,
получаем, что
− нуль первого порядка (простой нуль);
для точек
и
аналогично находим, что это нули первого
порядка (простые нули) данной функции.
Пример 2.
Определить порядок нуля
для функций:
а)
; б)
.
а) Для нахождения порядка нуля рационально использовать определение, разложив функцию по степеням (п. 2 “а” алгоритма). Получаем
Так
как в полученном разложении первый
ненулевой коэффициент
, а предыдущие равны нулю
(
),
то заключаем, что точка
является нулем порядка
для данной функции.
б) В данном случае используем формулу
(2.34), т.е. п. 2 “б” алгоритма. Находим
значения производных функции в точке
,
.
Следовательно, точка
данной функции является нулем второго
порядка.
Пример 3.
Определить порядок нуля
в точке
.
Функция записана в виде произведения
двух функций. Для первого множителя
порядок нуля в точке
определен в предыдущем примере: 
.
Для функции
=
точка
–
нуль первого порядка, так как согласно
п. 2 “б” алгоритма .
Поэтому, учитывая, что 
и пользуясь п. 2 “г” алгоритма, получаем,
что
− нуль третьего порядка . Поскольку
,
то по правилу 2 “г” алгоритма получаем
результат: точка
является нулем седьмого порядка
заданной функции, так как
.
Пример 4.
Найти нули функций.
а)
б)
а) Равенство
в области определения
функции выполняется для таких точек
,
в которых
,
т.е.
,
.
Эти точки, очевидно, простые нули функции
, а потому нули третьего порядка для
функции . Поэтому для каждого нуля
,
используя необходимое условие (см. п. 2
утверждения), можно записать 
,
следовательно,
.
Из этого, в силу достаточного условия
(см. п. 2), заключаем, что точки
,
являются нулями третьего порядка данной
функции. Кроме того, так как выполняется
условие
,
то, после доопределения функции (см. п.1
замечаний), получаем, что является
нулем функции. Чтобы определить порядок
нуля, используем результат, полученный
в п.2 замечаний, а именно, для функции,
стоящей в числителе, точка
− нуль третьего порядка , а для знаменателя,
очевидно, простой нуль . Поэтому
− нуль второго порядка данной функции.
б)Нулями функции в области определения,
,
являются
точки,
,
− корни уравнения
.
Поэтому из равенства
или
,
заключаем, что
,
− простые нули данной функции.
В точке
,
которая также является нулем числителя,
функция не определена. Найдем предел
функции в этой точке. Для вычисления
предела
можно использовать свойства пределов,
или разложить по степеням числитель
и знаменатель:
Так как
,то
точка
не является нулем данной функции.