- •Предназначено для студентов, обучающихся по специальностям: 220201 – Управление и информатика в технических системах;
- •230105 – Программное обеспечение вычислительной техники и автоматизированных систем.
- •Содержание
- •Основные теоремы интегрального исчисления
- •Переменного и его свойства
- •§ 2. Теорема Коши
- •§ 3. Неопределенный интеграл
- •§ 4. Интегральная формула Коши и ее приложения.
- •§5 Некоторые теоремы аналитических функций
- •Глава 2 функциональные ряды в комплексной области
- •§1. Числовые ряды
- •§2. Функциональные ряды.
- •§3. Степенные ряды.
- •§4. Ряды Тейлора.
- •§5.Ряды по целым отрицательным степеням
- •§6 Ряды Лорана
- •§7 Ряд Лорана в окрестности особой точки.
- •§8 Нули аналитических функций
- •Алгоритм нахождения нулей аналитических функций и определения их порядков.
- •Глава 3 особые точки функций косплексного переменного.
- •§1 Изолированные особые точки функций
- •§2 Определение типа особых точек для суммы, разности, произведения и частного функций
- •Глава 4 вычеты и их применение
- •§ 1. Определение вычета
- •§ 2. Вычисление вычетов в полюсе и устранимой особой точке
- •§3 Вычисление контурных интегралов с помощью вычетов
- •Учебное издание Адамушко Надежда Николаевна Теория функций комплексного переменного
- •140402, Г. Коломна мо, ул. Октябрьской революции, д. 408
§2. Функциональные ряды.
Рассмотрим последовательность функций комплексного переменного , заданных в некоторой области . Образуем функциональный ряд.
(2.5)
Его частичная сумма функция от . При фиксированном функциональный ряд обращается в числовой ряд, который может сходиться или расходиться.
Определение 1. Множество точек , в которых ряд (2.5) сходится, называется областью сходимости этого ряда.
Сумма ряда (2.5) является функцией переменного и определена в точках, в которых ряд (2.5) сходится.
Если ряд (2.5) сходится в области , то в каждой точке этой области последовательность остатков ряда стремится к нулю, , это значит, что для каждого можно указать такое натуральное число , что для всех модуль остатка удовлетворяет неравенству . Наименьшее число , определяющее номер , начиная с которого справедливо неравенство вообще говоря, зависит не только от , но и от , и не является, следовательно, одинаковым для всех точек области сходимости ряда; чтобы подчеркнуть эту зависимость, пишут не , а ( , ).
Однако существует важный класс функциональных рядов, для которых неравенство наступает одновременно для всех как только номер превысит число , зависящее только от выбора .
Определение 2. Ряд (2.5), сходящийся в области , называется равномерно сходящимся в этой области, если для каждого можно указать такое натуральное число , зависящее только от , что для всех справедливо неравенство одновременно для всех из области .
Предположим, что в области ряд (2.5) не только сходится, но и мажорируется некоторым сходящимся числовым рядом с действительными членами. Это значит, что существует такой сходящийся числовой ряд
(2.6)
с положительными членами, что во всех точках области справедливо
Определение 3. Ряд (2.5), сходящийся в области , называется правильно сходящимся в этой области, если он мажорируется сходящимся числовым рядом (2.6).
Если ряд (2.5) сходится правильно, то
,
следовательно, модуль остатка данного функционального ряда (2.5) не превосходит остатка числового ряда (2.6). Но так как ряд (2.6) сходится, то как бы ни было мало , найдется такое число (зависящее только от , так как ряд (2.6) числовой и его члены не зависят от ), что < при . Тем более поэтому при . Таким образом, для рядов, правильно сходящихся в области , неравенство справедливо при любом сколь угодно малом , если , где зависит только от . Следовательно, правильно сходящиеся ряды являются равномерно сходящимися рядами (однако, не всякие равномерно сходящиеся ряды сходятся правильно).
Условие равномерной сходимости ряда функций комплексного переменного в некоторой области гарантирует непрерывность суммы ряда, а также возможность интегрирования и дифференцирования суммы ряда путем почленного интегрирования и дифференцирования этого ряда. Справедливы следующие теоремы, аналогичные соответствующим теоремам для рядов с действительными членами.
Теорема 1. Если члены ряда (2.5) непрерывны в области , ряд сходится в этой области равномерно, то сумма ряда тоже непрерывна в области .
Теорема 2. Если члены ряда (2.5) непрерывны в области и ряд сходится в этой области равномерно, то
где − любой контур.
Теорема 3. (теорема Вейерштрасса). Если члены ряда (2.5) аналитичны в области , ряд сходится в равномерно, то сумма ряда аналитична в и
, (2.7)
причем ряд (2.7) производных сходится равномерно в .