§5 Некоторые теоремы аналитических функций

Теорема Лиувилля

Если f (z) аналитична во всей плоскости и ограничена, то она постоянна.

Доказательство.

Пусть , тогда на основании неравенства Коши (1.14) для и при имеем . Так как левая часть неравенства не зависит от R, а правая часть при , то . Таким образом f’(z) = 0 на всей плоскости. По формуле Ньютона-Лейбница (1.11) имеем

, т. е. для функция

Обращение теоремы Коши (теорема Морера).

Если функция f (z), непрерывная в односвязной области D для всякого кусочно-гладкого замкнутого контура Жордана Г, лежащего в области D, удовлетворяет равенству , то f (z) аналитична в области.

Теорема (принцип максимума модуля).

Если функция f (z), не равная тождественно постоянной, аналитична в области D и непрерывна в , то ее модуль не может достигать наибольшего значения во внутренней точке области D.

Аналогичное утверждение справедливо для минимума при дополнительном условии для .

Глава 2 функциональные ряды в комплексной области

§1. Числовые ряды

Рассмотрим последовательность комплексных чисел и ряд ее членов:

(2.1)

Определение 1. Число называется -ной частичной суммой этого ряда.

Определение 2. Ряд (2.1) называется сходящимся, если последовательность его частичных сумм стремится к конечному пределу, т.е., если , где - конечное число, называемое суммой ряда.

В этом случае пишут:

(2.2)

Определение 3. Если последовательность стремится к бесконечно удаленной точке или не стремится ни к какому пределу, то ряд (2.1) называется расходящимся.

Определение 4. Остатком ряда называется разность .Покажем, что последовательность остатков сходящегося ряда стремится к нулю. Действительно, если ряд (2.1) сходится, то .

Составим два ряда соответственно из действительных и мнимых частей членов ряда (2.1).

и (2.3)

Вопрос о сходимости рядов с комплексными членами сводится к изучению сходимости рядов с действительными членами на основе следующей теоремы:

Теорема 1. Для сходимости ряда (2.1) с комплексными членами необходимо и достаточно, чтобы сходились ряды (2.3) с действительными членами.

Доказательство:

Пусть , − частичные суммы рядов (2.3); тогда . Для того чтобы последовательность стремилась к конечному пределу , необходимо и достаточно, чтобы последовательности и стремились соответственно к конечным пределам и , откуда следует справедливость теоремы.

Необходимый признак сходимости рядов с комплексными членами: если ряд (2.1) сходится, то .

Действительно, если ряд (2.1) сходится, то сходятся два ряда (2.3), в силу чего , откуда .

Имеет место теорема:

Теорема 2. Если сходится ряд

, (2.4)

составленный из модулей членов ряда (2.1), то сходится ряд (2.1), называемый в этом случае абсолютно сходящимся.

Доказательство:

Пусть ряд (2.4) сходится, тогда из неравенств , в силу признака сравнения вытекает сходимость и , откуда следует сходимость рядов (2.2), а значит, и ряда (2.1).

Из неравенств , и признака сравнения вытекает, что для абсолютной сходимости ряда (2.1) с комплексными членами необходима и достаточна абсолютная сходимость двух рядов (2.2) с действительными членами.

Как следствия из свойств абсолютно сходящихся рядов с действительными членами получаются следующие утверждения:

1) Если ряд (2.1) абсолютно сходится, то при любой перестановке его членов сохраняется абсолютная сходимость ряда и величина его суммы.

2) В абсолютно сходящихся рядах с комплексными членами допускается любая группировка членов.

3) Абсолютно сходящиеся ряды с комплексными членами можно почленно перемножить.

Для рядов с комплексными членами применимы все известные из действительного анализа признаки сходимости знакоположительных рядов.

Пример 1.

Исследовать на сходимость ряд

Имеем . Вопрос о сходимости данного ряда сводится к вопросу о сходимости рядов с действительными членами и

Каждый из этих рядов сходится абсолютно, т.к. , , а ряд есть ряд Дирихле , p=2, он сходится при p>1. Следовательно, данный ряд сходится абсолютно.

Пример 2.

Исследовать на сходимость ряд

Общий член ряда , .

По признаку Коши ряд сходится абсолютно.