§5.Ряды по целым отрицательным степеням
Рассмотрим ряд:
(2.17)
Полагая
,
получим степенной ряд :
, (2.18)
сходящийся в круге
,
где
.
Ряд (2.18) сходится, если
;
,
,
где
Пример 1.
Найти область сходимости ряда
,
,
,
.
Данный ряд сходится вне круга с центром
в точке
с радиусом
,
.
Пример 2.
Найти область сходимости ряда
.
Имеем
,
,
поэтому
Следовательно, ряд сходится в области
,
т.е., вне круга с центром в точке
и радиуса
§6 Ряды Лорана
Определение 1.
Ряд вида
,
(2.19)
где
−
фиксированная точка комплексной
плоскости, а
−
заданные комплексные числа, называется
рядом Лорана.
Ряд
(2.19) содержит как целые положительные,
так и целые отрицательные степени
.
.
(2.20)
Определение 2.
Ряды
,
называются, соответственно, правильной
частью и главной частью ряда Лорана.
Ряд Лорана сходится в точке , если в этой точке сходятся ряды
Сумма
ряда Лорана (2.20) равна
.
Ряд
является степенным рядом, следовательно,
его область сходимости есть круг
.
Ряд
является рядом с целыми отрицательными
степенями, его область сходимости
.
При
ряд (2.19) сходится в кольце
.
При
правильная и главная части ряда Лорана
не имеют общей области сходимости,
поэтому ряд (2.19) не сходится. На границе
кольца
ряд (2.19) может, как сходиться, так и
расходиться. Из теоремы Абеля вытекает,
что во всяком замкнутом кольце
,
лежащем в кольце
,
ряд (2.19) сходится абсолютно и равномерно
и его сумма есть аналитическая функция
.
Теорема(теорема
Лорана). Всякая
функция
,
аналитическая внутри кольца
может быть единственным образом
разложена в ряд Лорана
,
причем
, где Г-любая расположенная в данном
кольце окружность с центром в точке
.
Доказательство.
Р
ассмотрим
кольцо
,
,
−
границы кольца,
− точка кольца,
− окружность с центром в точке
,
лежащая в кольце. По теореме Коши для
составного контура
.
В силу интегральной формулы Коши
,
получим,
.
а)Если
точка
− точка на окружности
,
то
,
,
.
Ряд
в правой части этого равенства сходится
на
правильно, умножив его почленно на
и проинтегрировав на
,
получим для
разложение
где
(2.21)
б)Если
точка
−
точка на окружности
,
то
,
где
.
(2.22)
В силу теоремы Коши для составного контура вместо кривых интегрирования можно взять любую окружность с центром в точке , лежащую в кольце .
При
замене индекса
на −
подынтегральное выражение в правой
части формулы (2.21) переходит в
подынтегральное выражение правой части
формулы (2.22), поэтому
где
коэффициенты
как при
так
и при
определяются формулой
,
(2.23)
где кривая − любая окружность с центром в точке , расположенная в кольце .
Замечание 1.
Доказательство единственности не приводится.
Замечание 2.
Пусть
аналитична не только в кольце
,
но и в точке
,
следовательно,
аналитична в круге
.
Тогда при всех
подынтегральная функция
в
интеграле формулы (2.22) не имеет особых
точек внутри
.
В силу теоремы Коши все
и главная часть ряда (2.19) Лорана формулы
тождественно равна нулю. Формула (2.21)
для коэффициентов правильной части
ряда Лорана в силу формулы
принимает вид
.
Следовательно, в этом случае ряд Лорана
превращается в ряд Тейлора, поэтому ряд
Тейлора является частным случаем ряда
Лорана функции
,
аналитической в «кольце»
,
следовательно, в круге
.
Замечание 3.
Пусть
функция аналитична в кольце
,
содержащем окружность
,
она разлагается в ряд Лорана
.
Полагая
,
получаем разложение в ряд Фурье
.
Пример 1.
Разложить
функцию в ряд Лорана при
в различных областях
.
Функция
имеет две особые точки
.
Следовательно, имеются три «кольца» с
центром в точке
,
в каждом из которых функция аналитична,
именно, 1) круг
;
2) кольцо
;
3) внешность круга
.
В данном примере можно получить разложение в ряд Лорана, не используя формулу для вычисления коэффициентов.
1)
Разложение в круге
.
Представим функцию в виде суммы элементарных
дробей
.
Так как
,
а функция
является суммой геометрической прогрессии
с модулем знаменателя
,
то
,
(2.24)
(2.25)
Складывая два последних равенства, получаем
,
.
С
ледовательно,
полученное разложение является рядом
Тейлора.
2) Разложение в кольце .
Ряд
формулы (2.24) остается сходящимся, так
как
,
но ряд формулы (2.25) расходится, потому
что
,
поэтому разложение (2.25) заменяется
следующим:
(2.26)
В
кольце
ряд формулы (2.26) сходится, так как
и
.
Складывая равенства (2.25) и (2.26) ,получим
,
(2.27)
следовательно,
.
3)Разложение в области .
Р
азложите
формулы (2.26) сохраняется, так как оно
верно при
,
тем более верно и при
.
Но ряд формулы (2.24) расходится, разложение
формулы (2.24) заменяем следующим
Рис 2.5
(2.28)
Ряд
формулы (2.28) сходится, так как
.
Складывая равенства (2.26) и (2.28),получим:
,следовательно,
.
Пример 2.
Разложить
в ряд Лорана в различных областях при
функцию
Функция
аналитична:1) в круге без центра
;
2) в области
;
Разложение в круге .
П
редставим
функцию в виде
.
, (2.29)
Ряд
формулы (2.29) сходится, так как
.
Следовательно,
поэтому
.
2) Разложение в области .
(2.30)
Р
Рис.
2.6
.
Ряд Лорана данной функции имеет вид
