Глава 4 вычеты и их применение

§ 1. Определение вычета

Пусть изолированная особая точка функции. По определению изолированной особой точки существует некоторая окрестность этой точки, в которой функция аналитическая. Напомним, что для эта окрестность имеет вид , а для

Рассмотрим произвольный контур , принадлежащий такой окрестности и являющийся границей некоторой области, содержащей (рис. 4.1,а).

О

а б

Рис 4.1

По следствию из основной теоремы Коши интеграл имеет одно и тоже значение независимо от вида кривой , лежащей в односвязной области аналитичности функции , следовательно, интеграл характеризует поведение функции в особой точке и поэтому может быть использован для исследования функции как некоторая числовая характеристика.

Вычетом функции в изолированной особой точке называется интеграл ,где − контур, принадлежащий окрестности точки и охватывающий её. Обход контура положительный, если область ограниченная им и принадлежащая окрестности , расположена слева: для обход против часовой стрелки (рис. 4.1,а), для по часовой (рис. 4.1,б). Обозначается вычет ((фр.) – вычитать):

(4.1)

Так как в окрестности изолированной особой точки функция разлагается в ряд Лорана, то, используя формулы для коэффициентов ряда Лорана и сравнивая их с (4.1), замечаем, что можно сделать следующее заключение.

Утверждение.

Вычет функции в изолированной особой точке равен коэффициенту при первой отрицательной степени в разложении функции в ряд Лорана в окрестности этой точки, т.е. при для и этому коэффициенту, взятому с противоположным знаком, для :

, (4.2)

. (4.3)

С помощью вычетов можно записать в другой форме основную теорему Коши для сложного контура. Действительно, пусть функция в области имеет особых точек , . Можно рассмотреть контуры , которые являются границами непересекающихся областей , таких, что каждая из особых точек (изолированных особых точек) принадлежит одной из (рис.4.3,а), а интеграл по согласно определению (см. формулу (4.1)) есть .

Кроме того, для любого контура , ограничивающего область , которой принадлежат все особые точки функции, и контура границы окрестности бесконечно удаленной точки. Справедливо равенство (обход на по часовой стрелке (рис.4.3,б)). Из этих рассуждений и формулы (4.1) получаем следующие утверждения.

Кроме того, для любого контура , ограничивающего область , которой принадлежат все особые точки функции, и контура границы окрестности бесконечно удаленной точки. Справедливо равенство (обход на по часовой стрелке (рис.4.3,б)). Из этих рассуждений и формулы (4.1) получаем следующие утверждения.

Основная теорема о вычетах.

Если функция − аналитическая в за исключением конечного числа особых точек , то справедливо равенство

(4.4)

где граница области .

Обобщенная теорема о вычетах.

Сумма вычетов функции во всех ее особых точках, включая бесконечно удаленную точку равна нулю

(4.5)

Пример 1. Найти вычеты следующих функций в их особых точках:

а) б)

в)

Особыми точками функции являются точки , , . Запишем разложения функций в ряд Лорана в окрестностях этих точек.

Н айдем разложение в окрестности . Расстояние до другой особой точки равно четырем, поэтому окрестность точки − проколотая окрестность, которая записывается в виде (рис. 4.4).

В разложении данной дроби на простейшие дроби первое слагаемое записано по степеням (уже разложено). Это разложение содержит только главную часть, состоящую из одного члена: здесь все кроме , , и разложение имеет место в области . Так как не является особой точкой для второго слагаемого, то оно раскладывается в ряд Тейлора в круге . Для исходной дроби правильная часть ряда Лорана имеет вид:

Получаем окончательный ответ:

Из разложения видно, что − простой полюс.

1. Запишем разложение в окрестности , аналогично для ,

. Заметим, что в полученных разложениях в окрестности каждой особой точки главная часть содержит одно слагаемое. Из разложения видно, что − простой полюс.

3)Запишем разложение в окрестности бесконечно удаленной точки .

Первое слагаемое раскладываем по отрицательным степеням в области окрестности бесконечно удаленной точки. Получаем разложение

Второе слагаемое разложим по отрицательным степеням в области – окрестности бесконечно удаленной точки.

Искомое разложение функции в ряд Лорана имеет вид

.

В разложение отсутствует главная часть − совокупность членов с положительными степенями . Из разложения видно, что

, устранимая особая точка.

Вычеты функции иллюстрирует обобщенную теорему о вычетах:

б) Особыми точками функции являются точки z₁ = −1, z ₂= 3, z₃= .

Запишем разложения функций в ряд Лорана в окрестностях этих точек.

1) Запишем разложение функции в окрестности точки _z1 = −1 .В разложение дроби на простейшие две первые дроби представляют собой слагаемые требуемого вида (уже разложены):

Эти разложения справедливы во всей плоскости с выколотой точкой _z1 = −1, т.е. в области .

Третью дробь разложим в окрестности .

Это разложение является правильной частью ряда Лорана.

Разложение функции в окрестности точки _z1 = −1 имеет вид:

Главная часть разложения содержит два члена с коэффициентами , поэтому , точка − полюс второго порядка.

2)Разложим функцию в окрестности точки . Главная часть разложения содержит одно слагаемое , правильная часть получается от разложения дробей и по степеням

при или

Для разложения дроби по степеням используем правило дифференцирования рядов.

или

Записываем разложение функции:

Из разложения следует, что −простой полюс.

3) Вычет в бесконечно удаленной точке z = ∞ можно найти, используя обобщенную теорему о вычетах:

, z = ∞ − устранимая особая точка.

Этот же результат получим, записав разложение функции в области − окрестности z = ∞.

Пример 2 Найти вычеты следующих функций в особых точках:

а) б) .

a) Особыми точками функции являются точки z₁= 0, z₂ = ∞. Найдем разложения функции в ряд Лорана одновременно в окрестностях этих двух точек. Различие разложений заключается в записи правильной и главной частей.

, 1) Для точки z₁= 0 правильная часть содержит конечное число слагаемых ─ четыре и ответ записывается в виде

Следовательно, z₁ = 0 − существенно особая точка.

2) Для точки, z₂ = ∞ конечное число слагаемых образует главную часть

Следовательно, z₂ = ∞ − полюс третьего порядка.

б) Особыми точками функции являются точки z₁= 0, z₂ = ∞ .Найдем разложения функции в ряд Лорана одновременно в окрестностях этих двух точек. Различие разложений заключается в записи правильной и главной частей.

Из разложения функции получаем точка z₁= 0 ─ устранимая особая точка, а точка z₂ = ∞ ─ существенно особая точка для.

Пример 3. Найти вычеты следующих функций в их особых точках:

а) б)

Точки ─ особые точки функции

Конечные особые точки функций являются существенно особыми точками. Это z=0 для первой функции и z =2 для второй. Разложим функции в ряды в окрестностях этих точек и найдем вычеты по формуле (4.2):

Следовательно, ─ существенно особая точка функции . Так как у рассматриваемой функции других конечных особых точек нет, то по формуле

─ устранимая особая точка функции .

б) Точки ─особые точки функции .Функцию разложим в ряд Лорана в окрестности этих точек.

В окрестности точки ряд Лорана имеет вид

Следовательно, существенно особая точка

функции Поскольку нет других конечных особых точек, то ─ полюс первого порядка функции.