- •Предназначено для студентов, обучающихся по специальностям: 220201 – Управление и информатика в технических системах;
- •230105 – Программное обеспечение вычислительной техники и автоматизированных систем.
- •Содержание
- •Основные теоремы интегрального исчисления
- •Переменного и его свойства
- •§ 2. Теорема Коши
- •§ 3. Неопределенный интеграл
- •§ 4. Интегральная формула Коши и ее приложения.
- •§5 Некоторые теоремы аналитических функций
- •Глава 2 функциональные ряды в комплексной области
- •§1. Числовые ряды
- •§2. Функциональные ряды.
- •§3. Степенные ряды.
- •§4. Ряды Тейлора.
- •§5.Ряды по целым отрицательным степеням
- •§6 Ряды Лорана
- •§7 Ряд Лорана в окрестности особой точки.
- •§8 Нули аналитических функций
- •Алгоритм нахождения нулей аналитических функций и определения их порядков.
- •Глава 3 особые точки функций косплексного переменного.
- •§1 Изолированные особые точки функций
- •§2 Определение типа особых точек для суммы, разности, произведения и частного функций
- •Глава 4 вычеты и их применение
- •§ 1. Определение вычета
- •§ 2. Вычисление вычетов в полюсе и устранимой особой точке
- •§3 Вычисление контурных интегралов с помощью вычетов
- •Учебное издание Адамушко Надежда Николаевна Теория функций комплексного переменного
- •140402, Г. Коломна мо, ул. Октябрьской революции, д. 408
§3. Степенные ряды.
Определение 1. Функциональный ряд вида
, (2.8)
где − комплексные постоянные (коэффициенты ряда), называется степенным.
Основной теоремой теории степенных рядов является теорема Абеля.
Теорема 1 (теорема Абеля). Если степенной ряд (2.8) сходится в точке , то он абсолютно сходится в круге . Во всяком замкнутом круге меньшего радиуса ряд сходится правильно.
Доказательство.
Так как ряд сходится в точке , то , следовательно, модули членов ряда (2.8) ограничены, поэтому существует такое число , что при любом . Пусть – любая точка, лежащая внутри круга с центром в точке и радиуса , тогда и . Общий член ряда (2.8) можно преобразовать . Отсюда видно, что , поэтому модули членов ряда (2.8) в точке меньше членов геометрической прогрессии со знаменателем . Следовательно, ряд (2.8) сходится в точке абсолютно, и первая часть теоремы доказана.
Возьмем произвольный круг . По доказанному выше, ряд (2.8) сходится абсолютно во всякой точке, расположенной внутри круга , в частности в точке , лежащей на окружности . Числовой ряд сходится. Но для любой другой точки , лежащей внутри круга или на окружности круга , справедливо неравенство , следовательно при любом . Этим доказано, что в круге ряд сходится правильно, следовательно, и равномерно.
Следствие. Если ряд (2.8) расходится в некоторой точке , то он расходится и во всех точках области .
Действительно, если бы ряд сходился в точке области , то по теореме Абеля он сходился бы и в точке , что противоречит условию.
Найдем область сходимости степенного ряда. Рассмотрим любой луч, выходящий из нулевой точки. Возможны три случая:
1)ряд сходится во всех точках этого луча. В силу теоремы Абеля ряд (2.8) сходится абсолютно и правильно внутри круга сколь угодно большого радиуса, т.е. во всей плоскости;
2)ряд сходится во всех точках луча, кроме точки (где ряд (2.8) сходится всегда, ибо все члены этого ряда, кроме первого, обращаются в нуль). В этом случае на основании следствия из теоремы Абеля заключаем, что ряд расходится в области , где − сколь угодно малое положительное число, т.е. расходится во всей плоскости, исключая точку ;
3) на луче имеются как точки сходимости ряда (2.8), отличные от , так и точки расходимости ряда. Поскольку из теоремы Абеля и следствия из нее можно заключить, что всякая точка сходимости ряда (2.8) лежит ближе к точке , чем всякая точка расходимости ряда, то в этом случае на луче найдется точка, , отделяющая точки луча, в которых ряд сходится, от точек луча, в которых ряд расходится. В точке ряд может расходиться или сходиться.
Определение 2. Величина называется радиусом сходимости ряда (2.8), а круг кругом сходимости ряда.
В круге ряд (2.8) сходится, вне этого круга расходится, на окружности могут располагаться как точки сходимости, так и точки расходимости ряда. В рассмотренных выше случаях 1) и 2) будем считать, соответственно, что и . Радиус сходимости ряда (2.8) можно определить, пользуясь признаком Даламбера.
Признак Даламбера. Пусть существует конечный или бесконечный предел . Тогда ряд (2.8) сходится, если , т.е., при . Расходится, если , т.е., при .
По признаку Даламбера радиус сходимости ряда (2.8) равен
Так как во всяком круге, находящимся внутри круга сходимости, как было доказано выше, степенной ряд сходится правильно, следовательно и равномерно, то из теорем 1,2,3 предыдущего параграфа следует верность следующих теорем.
Теорема 2. Сумма степенного ряда (2.8) непрерывна в каждой внутренней точке круга сходимости.
Теорема 3. Степенной ряд (2.8) можно почленно дифференцировать и интегрировать по любому контуру , принадлежащему кругу сходимости.
Если , то , (2.9)
Радиусы сходимости рядов (2.9) не могут быть меньше (ибо они сходятся равномерно во всяком круге по теореме Вейерштрасса), но в тоже время они не могут быть и больше , так как тогда радиус сходимости ряда (2.8), полученного почленным соответственно интегрированием и дифференцированием ряда (2.9), тоже была бы больше .
Рассмотрим ряд
(2.10)
где − любое комплексное число, тоже называется степенным. Подстановкой он сводится к ряду (2.8). Кругом сходимости ряда (2.10) является круг или , т.е., круг с центром в точке . Радиус этого круга можно вычислить по формуле , поскольку коэффициенты рядов (2.8) и (2.) одинаковы.
Пример 1.
Рассмотрим геометрическую прогрессию
Радиус сходимости находим по формуле .
Следовательно, кругом сходимости прогрессии является круг радиуса с центром в начале координат, т.е. круг . Внутри этого круга прогрессия сходится абсолютно, а во всяком замкнутом круге − правильно. Как и в действительном анализе сумма прогрессии внутри ее круга сходимости равна , так что .
Пример 2.
Исследовать сходимость ряда Его радиус сходимости . Кругом сходимости данного ряда является круг радиуса с центром в точке , т.е., вся плоскость .