- •Предназначено для студентов, обучающихся по специальностям: 220201 – Управление и информатика в технических системах;
- •230105 – Программное обеспечение вычислительной техники и автоматизированных систем.
- •Содержание
- •Основные теоремы интегрального исчисления
- •Переменного и его свойства
- •§ 2. Теорема Коши
- •§ 3. Неопределенный интеграл
- •§ 4. Интегральная формула Коши и ее приложения.
- •§5 Некоторые теоремы аналитических функций
- •Глава 2 функциональные ряды в комплексной области
- •§1. Числовые ряды
- •§2. Функциональные ряды.
- •§3. Степенные ряды.
- •§4. Ряды Тейлора.
- •§5.Ряды по целым отрицательным степеням
- •§6 Ряды Лорана
- •§7 Ряд Лорана в окрестности особой точки.
- •§8 Нули аналитических функций
- •Алгоритм нахождения нулей аналитических функций и определения их порядков.
- •Глава 3 особые точки функций косплексного переменного.
- •§1 Изолированные особые точки функций
- •§2 Определение типа особых точек для суммы, разности, произведения и частного функций
- •Глава 4 вычеты и их применение
- •§ 1. Определение вычета
- •§ 2. Вычисление вычетов в полюсе и устранимой особой точке
- •§3 Вычисление контурных интегралов с помощью вычетов
- •Учебное издание Адамушко Надежда Николаевна Теория функций комплексного переменного
- •140402, Г. Коломна мо, ул. Октябрьской революции, д. 408
§3 Вычисление контурных интегралов с помощью вычетов
Рассмотрим несколько примеров на применение вычетов к вычислению интегралов по замкнутому контуру, используя основную теорему о вычетах(формула 4.4).
Алгоритм вычисления интегралов с помощью вычетов
1. Найти особые точки функции f(z).
2. Определить, какие из этих точек расположены в области ограниченной контуром C. Для этого достаточно сделать чертёж: изобразить контур C и отметить особые точки.
3. Вычислить вычеты в тех особых точках, которые расположены в области D.
4. Записать результат по формуле ( 4.4):
D.
Пример 1.
Вычислить интеграл .
Записываем решение по алгоритму.
К онечными особыми точками функции являются нули знаменателя, , т.е. , k = 0,1,2,3. Заметим, что все точки – простые нули знаменателя, следовательно, простые полюсы f(z).
Контуром интегрирования является окружность , а точки расположены в вершинах квадрата, вписанного в окружность (рис.4.5). Поэтому в область, ограниченную контуром, попадают точки и . Заметим, что .
3. Находим вычеты в точках по формуле (4.8):
.
4. Записываем ответ:
Пример 2.
Вычислить интегралы:
a) ; б) .
Единственный конечной особой точкой каждой из подынтегральных функций является - существенно особая точка. В обоих случаях она принадлежит области, ограниченной контуром интегрирования. Вычеты находим, раскладывая функции по степеням z (см примеры 2 и 3 §1).
Получаем
.
Записываем ответ: а) ; б) .
Пример 3.
Вычислить интегралы:
а) ; б) .
а) Воспользуемся алгоритмом.
1. Находим конечные особые точки функции - корни уравнения , следовательно, , .
2. В область входят точки , так как
и . Другие точки не принадлежат кругу , так как для них .
3. Точка - устранимая особая точка функции, так как, применив ,
;
поэтому . Точка z=-1 является полюсом первого порядка , поскольку она − простой нуль знаменателя, а числитель при этом не обращается в нуль, следовательно, функция записывается в виде . Вычет вычисляем по формуле (4.8) :
.
4.Запишем ответ:
.
б) Воспользуемся алгоритмом.
1. Особыми точками функции являются нули знаменателя - корни уравнения или ,откуда ,
2. Из всех найденных корней кругу принадлежит только одна точка .
3,4. Находим вычет в точке - простом полюсе :
.
Записываем ответ: .
Пример 4.
Вычислить интегралы:
а) ; б) .
а) Особыми точками функции являются простые полюсы и , Точка не принадлежит кругу , точки расположены на окружности ,следовательно, принадлежат кругу . Применяя формулу ( 4.4), можно найти вычеты в этих точках, получив ответ:
.
Чтобы не вычислять вычеты в 15 особых точках , применим обобщенную теорему о вычетах (формулу(4.5)). В данном случае она имеет вид и, следовательно,
.
Для - простого полюса вычет находим по формуле (4.8):
.
Точка - устранимая особая точка для и . Вычет вычисляем по формуле (4.10):
.
Получаем ответ: .
б) Особыми точками функции являются точки - простой полюс и точка - существенно особая точка. Обе точки принадлежат кругу .
Вычет в точке находим по формуле (4.8):
.
Для нахождения вычета в существенно особой точке нужно найти коэффициент c-1 в разложении функции в ряд Лорана по степеням . Для этого записываем разложения в ряд Лорана функций и , перемножаем ряды и находим c-1 - коэффициент при степени .
Заметим, вычет в существенно особой точке можно вычислить, используя формулу (4.5).Из равенства следует .
Поэтому и
Пример 5.
Вычислить интеграл ,где С-граница круга единичного радиуса с центром в точке :
а) б) .
Особыми точками подынтегральной функции являются - полюс первого порядка, − существенно особая точка и - устранимая особая точка(см. пример 4.6).
а) В круг входит точка . Находим вычет по формуле (4.8):
.
Получаем ответ: .
б) В круг входят две точки: - существенно особая точка, − устранимая особая точка. Поэтому
,
или, применяя формулу (4.5) (чтобы избежать вычисления вычета в существенно особой точке), получаем
.
Так как , находим по формуле (4.8):
.
Получаем ответ: .
ЛИТЕРАТУРА
1. Лаврентьв М.А. , Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. «Наука», Москва, I 965.
2. Маркушевич А.И. Краткий куре теории аналитических функций. «Наука», Москва, I 966.
3. Свешников А.Г. Тихонов А.В. Теория функций комплексной переменной. «Наука», Москва, I 970.
4. Фукс Б.А.‚ Шабат Б.В. Функции комплексного переменного и некоторые их приложения. Физматгиз. Москва, I 959.
5. Конторович М.И. Операционное исчисление и процессы в электрических цепях. «Наука», Москва, I 964.
Рассмотрено и рекомендовано к рассмотрению
учебно-методического совета КИ (ф)
МГОУ
на заседании кафедры
Высшей и прикладной математики
КИ (ф) МГОУ "22" февраля 2012
г.
протокол № 7
Рекомендовано
к печати решением
учебно-методического
совета
КИ
(ф) МГОУ от
"___" _____________2012
г.
протокол
№ ___