§2 Определение типа особых точек для суммы, разности, произведения и частного функций

Пусть − особая точка и , тип особой точки для каждой функции известен. Требуется определить тип особой точки для функции

Рассмотрим следующие случаи.

Первый случай. Пусть точка является полюсом порядка для функции и полюсом порядка для функции . Следовательно, функции , и , где .

а) Для суммы при получаем или , где . Если , то является полюсом для функции . Однако для функции может выполняться условие и, следовательно, . В этом случае порядок полюса будет меньше, чем , и равен при условии , где − порядок нуля функции . Если , то является устранимой особой точкой функции .

Таким образом, при сложении функции порядок полюса в точке может оказаться равным или меньше, чем наибольший из порядков слагаемых.

б) Для исследования произведения воспользуемся следующим утверждением: если точка является нулем порядка функции и нулем порядка функции при точка − полюс порядка для . Рассмотрим вспомогательные функции . Для первой из этих функций − нуль порядка , для второй − нуль порядка , а поэтому для точка − нуль порядка . Следовательно, точка −полюс для .

в) Аналогичные рассуждения для частного приводят к результату: при точка для .

Второй случай. Пусть точка является полюсом, устранимой особой точкой или особой для и существенно особой для . Так как не существует, то по свойству пределов он не существует для каждой из рассматриваемых комбинаций . Следовательно, для каждой из них точка − существенно особая точка. Заметим, что для функции эта точка является либо существенно особой точкой, либо не является изолированной особой точкой

Третий случай. Пусть точка − полюс порядка для и устранимая особая точка для . Разложения этих функций в ряд в окрестности имеют вид соответственно :

; а) При сложении рядов в общей области сходимости получится ряд, главная часть которого будет составлять главная часть ряда функции . Следовательно, точка −полюс порядка для .

б) Аналогичные рассуждения приводят к заключению, что такой же результат получится и для , если .

Если и - нуль , для функции , то из равенства заключаем, что точка является полюсом .

в) для частного при условии из равенства заключаем, что для .

Если и точка нуль порядка для функции , то, . Из этого равенства, используя условие кратности нуля, заключаем, что является для , где порядок полюса функции , порядок нуля функции в точке .

Подводя итог, запишем следующее утверждение.

Утверждение

1. Пусть точка является для функции и для функции . Тогда:

а) для точка − , а при − устранимая особая точка;

б) для точка − , ;

в) для точка − , .

2. Пусть − существенно особая точка для функции и устранимая особая точка или полюс для функции . Тогда − существенно особая точка для ; ; .

3. Пусть точка является для функции и устранимой особой точкой для функции . Тогда:

а) для точка − ;

б) для точка − , если , , если и порядок нуля в точке ;

в) для точка − , если , , если и порядок нуля в точке .

4. Если точка - для , то она существенно особая точка для сложной функции . В этом можно убедиться, рассматривая ряды для и в окрестности .

Пример 2.

Определить тип особой точки для функции , если , где , а функция имеет вид:

а) ; б) ; в) .

Очевидно, точка является П.(2) для и для в первых двух случаях; в последнем случае − П.(1) для .

Для каждого из указанных случаев записываем разложение функции по степеням , из которого определяем тип точки для :

а) для ;

б) для ;

в) для .

Пример 3.

Найти особые точки функции . Определить их тип.

Особыми точками функции являются особые точки первого слагаемого и особая точка второго слагаемого входят в это множество. Точки , являются простыми нулями знаменателя и поэтому простыми полюсами первой функции; для второго слагаемого эти точки не являются особыми. Поэтому точки − простые полюсы .

Точка − простой полюс и для первого, и для второго слагаемого. Для − это или простой полюс, или устранимая особая точка. Преобразуем разность в дробь: . Точка является нулем второго порядка и для числителя, и для знаменателя. Следовательно, это – устранимая особая точка, в чем можно убедиться, используя определение, находя . Действительно, Точка для данной функции является неизолированной особой точкой, так как в любой ее окрестности содержится бесконечное множество особых точек вида . Эта точка − предельная точка полюсов. Заметим, что для первого слагаемого функции она − существенно особая точка.

Пример 4.

Найти особые точки следующих функций, определить их тип:

а) ; б) ;

Для функции точка является существенно особой точкой, поэтому она существенно особая точка для . Точки − полюсы второго порядка функции , так как ее можно записать в виде , где , а для знаменателя эти точки – нули второго порядка. Так как для эти точки не особые, то − полюсы второго порядка функции .

С помощью аналогичных рассуждений получаем, что − простой полюс функции .

Особыми точками являются корни уравнения , следовательно, Все корни – простые нули знаменателя – функции , а потому – простые полюсы для . Так как эти точки не являются особыми функции , то для − это простые полюсы.

Точка − неизолированная особая точка .

б) Точка − полюс дроби является существенно особой точкой для , поэтому она – существенно особая точка для и, следовательно, функции .

Точка − простой полюс дроби . Поскольку не является особой точкой функции , то она – простой полюс для .

Точка − устранимая особая точка для , так как она − простой нуль и для числителя, и для знаменателя дроби . Так как не является особой точкой , то она – устранимая особая точка .

Особыми точками являются простые нули знаменателя − корни уравнения , или , следовательно, . Все точки , или являются простыми полюсами для и, следовательно, простыми полюсами для . Точка − не изолированная особая точка .