Контрольные вопросы

1. Какое движение называется вращательным? В чем отличие вращательного движения от поступательного?

2. Что называется моментом силы относительно точки? В каких единицах он измеряется? Как определить его направление?

3. Что называется моментом инерции тела, системы тел? Единицы измерения момента инерции?

4. Каким образом можно изменить момент силы, момент инерции?

5. Как записывается и формулируется второй закон Ньютона для вращательного движения?

6. Как вы представляете себе безразличное равновесие маятника?

7. Какие определения, формулы, законы используются при выводе формул (9.11) и (9.12)? Выведите их.

Лабораторная работа 10 изучение свободных колебаний пружинного маятника

Цель работы: ознакомление с характером свободных колебаний и определение их характеристик.

Приборы и принадлежности: пружинный маятник, секундомер.

Библиографический список: [1] § 140–142; [2] ч.1 § 27; [3] т.1 § 49, § 53–54;[4] т.1 § 50 - 51;[5] § 10.1–10.2; [7] § 3.1.1, § 3.2.1; [8] § 59–60, § 21.

Введение

Колебаниями называют движения или изменение состояния системы, отличающиеся той или иной повторяемостью во времени. Колебательные процессы могут существовать в объектах различной природы, в том числе в живых организмах, а также в системах различных размеров – от космических до молекулярных.

Колебания, при которых состояния системы повторяются через равные промежутки времени называют периодическими. Строго периодическими являются гармонические колебания, где изменение состояния системы со временем описывается при помощи периодической функции синуса (или косинуса). Для этих колебаний имеют определенный смысл и значения величины: амплитуда, период, частота, циклическая частота.

Период колебаний Т – это наименьший промежуток времени, через который повторяются определенные состояния системы. Или это время одного полного колебания. Единицы измерения [Т] = 1 с.

Частота ν – число колебаний в единицу времени (секунду). Единицы измерения [ν] = 1 Гц.

Циклическая (круговая) частота ω – число колебаний за 2π секунды. Единицы измерения [ω] = 1 с^-1.

Амплитуда X_m – наибольшее отклонение колеблющейся величины от состояния равновесия. Единицы измерения [X_m] = 1 м.

Существует классификацияколебаний:

1. Свободными (или собственными) колебанияминазываются колебания, возникающие в системе, которая после выведения ее из состояния равновесия была предоставлена самой себе. Свободные колебания совершаются за счет первоначально сообщенной энергии системе извне при последующем отсутствии внешних воздействий.

2. Вынужденные колебания– это колебания, совершающиеся под действием периодической внешней силы.

3. Незатухающие колебания– это колебания, энергия которых не изменяется с течением времени.Свободные незатухающие колебаниямогут существовать только при отсутствии сил трения. Эти колебания являются гармоническими, их амплитуда не изменяется. В реальных системах могут возникать колебания, близкие к гармоническим, когда трение в системе сведено к минимуму.

4. Свободные затухающие колебания– это колебания, энергия которых уменьшается с течением времени, следовательно, уменьшается их амплитуда. Причина – наличие сил трения в механических системах. Затухание нарушает периодичность колебаний.

В

Рис. 10.1. Пружинный маятник

настоящей лабораторной работе изучаются свободные механические колебания на примере пружинного маятника.

Пружинный маятник– это груз массойm,подвешенный на упругой пружине жесткостьюk(рис. 10.1). Если груз сместить из положения равновесия на отрезокхи предоставить самому себе, то пружинный маятник начнет колебаться. Это свободное колебание. При отсутствии сопротивления среды колебания будут незатухающими, при наличии сопротивления – колебания – затухающие.

Незатухающие свободные колебания пружинного маятника совершаются только под действием упругой силы (трение отсутствует). Ее проекция на ось Х по закону Гука (рис. 10.1):

F_x = – kx. (10.1)

Тогда основное уравнение движения маятника (второй закон Ньютона) в проекциях на ось X имеет вид:

F_x = m a_x или , (10.2)

где – ускорение.

Уравнение (10.2) является дифференциальным уравнением, которое принято записывать в стандартной форме:

или , (10.3)

здесь– собственная циклическая частота пружинного маятника.

Решением уравнения (10.3) является уравнение гармонических колебаний:

x = X_m cos(ω₀t + φ₀), (10.4)

где x – смещение маятника в момент времени t, ω₀t + φ₀ = φ – фаза колебаний в тот же момент времени, φ₀ – начальная фаза колебаний.

Период собственных колебаний пружинного маятника будет равен:

. (10.5)

Затухающие свободные колебания пружинного маятника совершаются под действием двух сил: упругой силы пружины F_x = – kx и силы сопротивления среды (направленной противоположно скорости):

, (10.6)

где r – коэффициент сопротивления, который зависит от свойств среды (вязкости), а также от размеров и формы груза и пружины;

–скорость движения.

Теперь основное уравнение движения маятника (уравнение затухающих колебаний) в проекциях на ось X имеет вид:

или . (10.7)

Если силы сопротивления не велики и r/m << ω₀, колебания маятника будут слабо затухающими и решение уравнения (10.7) будет иметь вид:

(10.8)

– это уравнение (закон) затухающих колебаний. Выражение:

(10.9)

– закон изменения амплитудыс течением времени. ЗдесьX_m– амплитуда колебаний в момент времениt,– начальная амплитуда (t= 0),– коэффициент затухания. Очевидно, что слабо затухающие колебания не являются строго периодическими: амплитуда монотонно убывает по экспоненциальному закону (10.9). Величинаω– циклическая частота затухающих колебаний, которая равна:

. (10.10)

Период затухающих колебаний пружинного маятника будет равен:

. (10.11)

Из формулы (10.10) видно, что в случае затухающих колебаний ω₀ > ω, тогда согласно (10.5) и (10.11) должно выполняться неравенство:

T₀ < Т, (10.12)

которое проверяется в настоящей лабораторной работе.