Контрольные вопросы

1. Какой маятник называется математическим?

2. Какие колебания называются гармоническими?

3. Запишите уравнение движения гармонических колебаний в дифференциальной форме.

4. По какому закону изменяется дуговое смещение математического маятника для гармонических колебаний? Разъясните его.

5. Дайте определение и запишите формулы для: периода, частоты, циклической частоты, амплитуды, фазы колебаний.

6. Как изменится период собственных колебаний математического маятника, если опыт провести на экваторе? На полюсе? Если стальной шарик заменить медным таких же размеров? Ответ пояснить.

Лабораторная работа 13 определение момента инерции методом крутильных колебаний

Цели работы: 1. Определить момент инерции исследуемого тела относительно двух осей:

1. оси, проходящей через центр массы;

2. оси, не проходящей через центр массы.

2. Проверить теорему Штейнера.

Приборы и принадлежности:трифилярный подвес, секундомер, метровая линейка, штангенциркуль, два цилиндрических тела.

Библиографический список: [1] § 16–17; [2] ч.1 § 21–23; [3] т.1 § 38–39, § 41–42; [4] т.1 § 10 - 11;[5] § 2.10, § 5.1, § 5.3–5.4; [7] § 1.3.3.

Введение2

Момент инерции– это физическая величина, являющаяся количественной мерой инертности вращающегося тела. Момент инерции твердого тела относительно какой-то оси вращения равен:

, (13.1)

где dm– масса бесконечно малого элементарного объёма тела,r – расстояние от оси вращения до этого объёма. Интеграл в формуле (13.1) берется по всему объёму телаV.

Согласно формуле (13.1) момент инерции – величина аддитивная. Это означает, что момент инерции тела (системы тел) равен сумме моментов инерции составляющих частей.

В общем случае нахождение момента инерции по формуле (13.1) представляет большие трудности. Задача упрощается, если ось вращения проходит через центр массы тела (ось симметрии). Зная момент инерции такого тела легко вычислить его момент инерции относительно любой другой оси, параллельной оси симметрии, используя теорему Штейнера. Согласно этой теореме, момент инерции телаIотносительно произвольной оси равен моменту инерцииI_сотносительно оси, параллельной данной и проходящей через центр массы тела, плюс произведение массы телаmна квадрат расстояния между осямиа:

I=I_c +mа². (13.2)

Крутильным гармоническим колебаниемназывается периодическое движение около оси, проходящей через центр массы тела, при котором угол отклонения от положения равновесия изменяется по закону синуса или косинуса:

, (13.3)

где φ_mиТ– амплитуда и период крутильных колебаний.

Теория метода и описание экспериментальной установки

Моменты инерции различных тел можно измерить методом крутильных колебаний с помощью трифилярного подвеса. Это однородный диск массойmи радиусаR₁, подвешенный на 3-х симметрично расположенных нитях. Наверху эти нити симметрично закреплены на диске меньшего радиусаr₁(рис.13.1).

Т

Рис. 13.1. Трифилярный подвес

олчком к крутильным колебаниям служит небольшой вращательный импульс, сообщаемый нижнему или верхнему диску так, чтобы некрутильные колебания отсутствовали. При крутильных колебаниях центр тяжести нижнего диска поднимается по оси вращения на высотуh(рис. 13.2) и вновь возвращается в исходное положение. При отсутствии трения по закону сохранения энергии имеем:

, (13.4)

здесь mи I– масса и момент инерции нижнего диска (пустого),ω_m– наибольшая угловая скорость при прохождении положения равновесия.

Для гармонических крутильных колебаний:

, (13.5)

отсюда

. (13.6)

Теперь уравнение (13.4) можно представить в виде:

. (13.7)

В

Рис. 13.2.

ысотуhможно найти из геометрических построений. Из рис. 13.2:

. (13.8)

Так как φ_m– небольшой угол (гармонические колебания), то

h₁+h₂≈ 2l, (13.9)

где l – длина нитиА₁D.

Используя рис. 13.2а и 13.2б определим h₁иh₂:

, (13.10)

, (13.11)

где Rиr– радиусы окружностей крепления нитей на нижнем и верхнем дисках (рис. 13.1).

Найдем отрезок А₁Виз треугольника ΔА₁ВО(рис. 13.2б):

А₁В²=R²+r²– 2Rr ∙cos φ_m. (13.12)

Полученное выражение подставим в уравнение (13.11), тогда:

. (13.13)

С учетом (13.9), (13.10), (13.13) формула (13.7) для малых φ_mпримет вид:

. (13.14)

Выразим из уравнения (13.7) момент инерции I нижнего диска и подставим в полученное выражение формулу (13.10) для высотыh:

(13.15)

или

, (13.16)

где m– масса нижнего диска (указана на диске),t – времяnполных крутильных колебаний,Dиd– диаметры окружностей крепления нитей на дисках (нижнем и верхнем),А– постоянная для данного трифилярного подвеса, которая рассчитывается по формуле:

. (13.17)

Если на нижний диск поместить исследуемое тело, то изменится масса, момент инерции и период колебаний системы диск-тело, однако формула (13.16) останется справедливой с учетом происшедших изменений.

Таким образом, используя формулу (13.16) можно определить момент инерции пустого диска и диска с телом, а, следовательно, и момент инерции исследуемого тела.