Контрольные вопросы

1. Что называют колебаниями? Примеры колебаний различной природы, в том числе в биологических объектах и в тепловом движении сложных молекул.

2. Запишите второй закон Ньютона для незатухающих и затухающих колебаний пружинного маятника.

3. Какие колебания называют гармоническими? Закон смещения для гармонических колебаний, график зависимости.

4. Дайте определение и запишите формулы для: периода, частоты, циклической частоты, амплитуды и фазы колебаний.

5. Какие колебания маятника называют свободными затухающими? Как выглядит их график и закон изменения амплитуды?

6. В каком случае выполняется неравенство: T₀<Т?

Лабораторная работа 11 изучение затухающих колебаний

Цели работы: получить зависимость амплитуды затухающих колебаний от числа колебаний и представить эту зависимость графически; вычислить величины, характеризующие колебания.

Приборы и принадлежности:установка для измерения амплитуды затухающих колебаний, секундомер.

Библиографический список: [1] § 142,§146; [2] ч.1 § 27, § 31; [3] § 49, § 53–54, § 58;[4] § 50 – 51,§ 54;[5] § 10.1–10.2; [7] § 3.1.1, § 3.1.3, § 3.2.1.

Введение

Совокупность связанных между собой тел, способных совершать колебания, называют колебательной системой. Простейшей колебательной системой являетсяпружинный маятник– это груз массойm,подвешенный на упругой пружине. Различные пружинные маятники отличаются друг от друга массой груза и коэффициентом жесткости (или упругости) пружиныk.

Рассмотрим пружинный маятник сосредоточенной массы (масса маятника приблизительно равна массе подвешенного груза). В состоянии равновесия сила тяжести груза уравновешивается силой упругости (рис. 11.1б) и второй закон Ньютона в проекции на ось Х будет иметь вид:

mg – kΔl = 0 (11.1)

Рис. 11.1. Пружинный маятник

Если груз сместить из положения равновесия на отрезок х(рис. 11.1в) и предоставить самому себе, то пружинный маятник начнет совершать колебания. Такие колебания называютсвободными. В отсутствии сопротивления среды колебания будутнезатухающими, при наличии сопротивления – колебания –затухающие. Уравнение движения (2-й закон Ньютона) для затухающих колебаний имеет вид:

(11.2)

или с учетом (11.1)

. (11.3)

Здесь – kx– так называемая, возвращающая силаF_возв.(рис. 11.1в,г),

–сила сопротивления при малых скоростях движения,

r – коэффициент сопротивления.

Решением уравнения (11.3) будет функция

, (11.4)

где , (11.5)

. (11.6)

Коэффициент β, характеризующий быстроту затухания во времени, называетсякоэффициентом затухания.

Согласно (11.4), затухающие колебания можно считать гармоническими колебаниями частоты ωи переменной амплитудой, равной

(11.7)

На рисунке 11.2 приведен график зависимости смещения маятника от времени в случае затухающих колебаний. Пунктирные линии на графике дают предельные значения максимального смещения (амплитуды) затухающих колебаний;– амплитуда в начальный момент времени;Т_з– период затухающих колебаний:

Рис. 11.2.

, (11.8)

здесь t – время, за которое маятник совершает n полных колебаний.

Быстрота затухания, помимо коэффициента затухания β, характеризуется логарифмическим декрементомD, временем релаксацииτ и добротностьюQ.

Логарифмический декремент– это натуральный логарифм отношения двух последовательных амплитуд (крайних отклонений в одну сторону через периодТ_з(рис. 11.2)).

. (11.9)

Учитывая (11.7) уравнение (11.9) можно записать в виде:

. (11.10)

Время релаксации τ– это время, в течение которого амплитуда колебаний уменьшается вераз (условно принято считать, что за это время колебания прекращаются). Согласно этому определению из (11.7) получим:

. (11.11)

Тогда равнение (11.10) можно представить в виде:

, (11.12)

где N_τ– число колебаний за времяτ(такое число колебаний совершит система, прежде чем её амплитуда уменьшится в ераз).

Добротность колебательной системы определяется формулой:

. (11.13)

Можно показать, что при слабых затуханиях добротность пропорциональна отношению полного запаса энергии колебательной системы W(t) к энергии, теряемой за период:

. (11.14)

При экспериментальном исследовании затухающих колебаний необходимо проверить, соответствуют ли экспериментальные результаты для зависимости X_m от tвыражению (11.7). Для этого прологарифмируем уравнение (11.7) и, учтя (11.9), получим:

, (11.15)

Из выражения (11.5) следует вывод: согласно теории, натуральный логарифм амплитуды затухающих колебаний линейно зависит от числа колебаний. Таким образом, убедиться в том, что экспериментальные результаты соответствуют (или не соответствуют) теории, можно, построив график зависимости lnX_mотn.