книги из ГПНТБ / Пугачев, В. С. Основы статистической теории автоматических систем

Уравнения (3.88) решают при начальных условиях
	Он (0)=£>,.;			0ц (0) =		2012.;
0ц(О) =		2D;Jo — 2щОУо— 4£(oo0i2o;
0x2 (0) = 012о; Оха (0) = Dy0 — mDy<t — 2^coo0i2o;
012 (0) =	2gco;]D„t - 6gco0DUa -				4(05 (1 -		t ) 0i2„;
O22 (0) = Dyo',		022(0) =		— 4£cooDy<s— 2co50i2„;
0*22(0) =	2(ouDUa	12£cooOi20 +			A;„2(Oo (8£“ — 1).
Для каждого из уравнений			(3.88) весовая функция
	-2|и„ (1-х)
g(*. т) =	4(о'5 (1 — !2) [		1 —	cos 2о>0		1 —	s* (/ — т )] .	(3.89)

Используя весовую функцию и начальные условия, вычисляем

дисперсию координаты для произвольного момента времени:

0Ц (/) = е—26“»0—1

Dyo

Г1- (1 - 2£2) cos 2(о0 v T

^ f (t -

д +

2(1 -

| а)

+

sin 2ш0 V T = f (t - i0) +

+

0

o f " 0

[ 1

— cos2(001^1 — l2(t — g ]

+

2(05(1 — £-)

+

0 12OS

L1— cos 2(o0 ] / 1

—

-f

(O o (i-r-)

+

i

(i — E2)= sin 2(o0 }/l — £2 (t — g

+

K i -

i

+ 4 ^ / % )

1 1

~

I2 -

e -25“o (/-/.) [ 1

- Г” cos 2o)0 У 1

£2 (/—g

4 -

+

l V \

-

12sin 2o)0 Y

1 — ? (t -

g ] ) •

(3.90)

По аналогичной схеме вычисляют дисперсию производной и взаимный корреляционный момент.

Для определения установившихся значений дисперсий и корре­ ляционного момента в уравнениях (3.87) или (3.88) следует прирав­ нять к нулю все производные. В результате получаем

0U=O*®!L; Ой = 0; 022 = ^ .

(3.91)

Первую из указанных формул можно получить также из выраже­ ния (3.90), если положить t0 = —00. Равенство нулю взаимного момента связи 012 в установившемся режиме свидетельствует о не­ коррелированности координаты колебательного звена и ее произ-

90

водной в этом режиме. В переходном режиме координата и ее произ­ водная коррелированы.

Перейдем к вычислению корреляционных моментов выходных переменных колебательного звена, обусловленных воздействием случайной составляющей полезного сигнала. Для применения метода уравнений моментов необходимо представить случайную составляю­ щую полезного сигнала как результат прохождения белого шума через формирующий фильтр. Для корреляционной функции (3.68) формирующим фильтром является система второго порядка. Для оп­ ределения уравнения этого фильтра сравним выражение для корре­ ляционной функции (3.68) с формулами (3.58), (3.60). В результате

сравнения получаем
=	ws — м!	а = ьщ .	(3.92)

Следовательно, фильтр, формирующий полезный сигнал из бе­

лого шума, описывается	уравнением
S +	2£iC0iS + a>iS — kV (/).	(3.93)

При единичной интенсивности белого шума V (t) из уравнений

(3.92) следует, что
COl = lAo's -ь а 2; 1\ =
	V '“s + а'2 ’	(3.94)
k =	4Dsa
	I м9. +! а-3

Уравнение (3.93) совместно с уравнением (3.66) описывают си­ стему, на вход которой действует белый шум V (t) с единичной ин­

тенсивностью.
Вводя новые	переменные		Y x =	Y, У2 =		У,	Y 3 — S,	У4	= 5,
представим уравнения (3.66), (3.93) в форме Коши:
Yi = У2;	У2 =	— 2gco0У2 — 4У1 +			«оУз;		Уз = У-i;	}	(3-95)
	У4 =	— ®1У3 - 2^00^4 +			kV (t).
Уравнение для моментов определяется соотношением (2.73):
	0,-/ =	S ai*0*/ + S		aj$ik +		bibjGij.			(3.96)
		ft=i	ft=i
Коэффициенты в данной системе определяются следующими ма­
трицами:
	0	1	0	0			0
	— шо — 2|©0		cog	0			0
11% 1=	0	0	0	1		.	1 М = 0
	0	0	— 0)2	2^10)1			k

91

В установившемся режиме в уравнениях (3.96) следует положить равными нулю производные. В результате получаем систему линей­ ных алгебраических уравнений 10-го порядка:

0 = Sa.-ftOkj +	^	a-jifiik +	(3.98)
*=1	1.	2, 3, 4)
(*. i =

Решая эту систему относительно дисперсии DtJ — 0U в установившемся режиме, получаем

Dnk" X 2ш,

X	gCOg ((Og +		+	I j W J (f t ) , +	4 £ [ | 0 ) д )
					(3.99)
|ё 1ыош1 К + wi — 2cojcOg (l — 2£2 — 2§j) +					4££1со0со1 (<Од -|-
где соь	к определяют по формулам (3.94).
Таким	образом,	дисперсия		координаты колебательного звена
в установившемся		режиме	есть	сумма	дисперсий, определяемых

первой формулой (3.91) и формулой (3.99).

3.5. Следящая система

Рассмотрим точность работы типовой следящей системы, струк­ турная схема которой приведена на рис. 3.6. Входной сигнал X усиливается на электронном усилителе в k x раз; далее, сигнал, по­ ступающий с потенциометрического датчика (на рисунке не показан), усиливается по мощности на магнитном усилителе в к., раз. Магнит­ ный усилитель является инерционным звеном с постоянной вре­ мени Т2. Сигнал с магнитного усилителя поступает на электродвига­ тель с редуктором, динамические свойства которого могут быть опи­ саны уравнениями последовательно соединенных инерционного и интегрирующего звеньев с коэффициентом усиления кэ. В цепях обратной связи включены тахогенератор с передаточной функцией &4, дифференцирующая цепочка с параметром Тъ и потенциометр жест­ кой обратной связи с коэффициентом усиления /г0. Потенциометр обратной связи имеет общую точку с потенциометром датчика. Вход-

Рис. 3.6. Структурная схема следящей системы

92

ной сигнал есть электрическое напряжение, пропорциональное сме­ щению движка потенциометра датчика. Выходной сигнал системы есть угол поворота редуктора, связанного с движком потенциометра обратной цвязи.

Входной сигнал представляет собой сумму полезного сигнала 5 (t) и помехи N (t):

X (t) = S (i) + N (t).

(3.100)

Полезный сигнал является полиномом второго порядка с постоян­ ными коэффициентами:

S (f) = S 0 + Sit + Sot2.

(3.101)

Помеха N (t) представляет собой белый шум с нулевым математи­ ческим ожиданием и интенсивностью GN.

Критерием точности работы следящей системы выбираем второй начальный момент ошибки:

ссе — Ше + De -

(3.102)

Требуется вычислить второй начальный момент ошибки в уста­ новившемся режиме.

Для решения задачи воспользуемся методом передаточных функ­ ций, изложенным в п. 2.4. С учетом выражения (2.34) математиче­

ское	ожидание ошибки вычисляют по формуле
		аз
	тЕ (0 =	Е CrmlP (t),	(3.103)
		г=О
где	m[r) (t) — г-я производная	математического	ожидания вход­

ного сигнала, а Сг — коэффициенты ошибок:

Сг = ^ [ Ф (г)(0)— Ф^’ (О)].

(3.104)

(г = 0, 1, . . .)

В этой формуле Ф(г) (0), ф£г) (0) — производные передаточных функций реальной и идеальной систем при нулевом значении аргу­ мента.

Исследуемая система является следящей системой, поэтому требуемое преобразование полезного сигнала является тождествен­ ным преобразованием

Yr = Лт5	(/) =	5	(*).		(3.105)
Отсюда Фт = 1. Передаточная	функция		системы от		входа X
к выходу Y в соответствии со структурной схемой				на рис.	3.6 имеет
вид
ф ^ = __________ !lis + /г°__________				’	(3.106)
djS4 -)- d3s3-р d„s~		dyS -)- d0

93

где		d., =		T2 +		T3 +		Th +	kJz2k3T3Tr
	h1 = /ei/e2/e37Y,
	h 0 = kJtJi-y,			d3 =		1 +	/eL/e2/e3Aj(i7 Y ,
	di =	Г2Т3Г6;			dn —		kik2k3ka\
	rf3 =	^ T s		+	n	n	+	r 2r 3.
=	При значениях параметров				/г3	= 2,0;		k2 =	0,12 Л. Б -1; £3	=
	350 В - А - 1-с"1; /г„ =	1,0;	Г2 =			0,01	с;	Т 3 =	0,2 с; Т4 = 0,04	с;
7.	= 0,55 с коэффициент di		на два порядка меньше других коэффи­

циентов, так как постоянная времени Т2магнитного усилителя имеет малую величину. Полагая эту постоянную времени равной нулю, получаем передаточную функцию третьего порядка

Ф (s) =		____ hjS		hо_____		(3.107)
			+ ks~+ hs + U			’
где	kT	/3 = тзть10=
/ц =						/е/г0;
li0=	k\ l2=		Т3 +	Т5 +	кТвТь\
k = k^ok^			li —1 +		ккйТъ.

Пользуясь формулой (3.107), вычислим коэффициенты ошибок. Производные передаточных функций

фт (0) =	1; Ф '1»(0) = 0;		Ф<2>(0) = 0;
Ф(0) = ± - ,		ф (1) (0) =	—
гт-.(2 ) / п	\ ___	2 [kka (Тз + кТлТ5) — 1]
1	—	!ск\
		j.2 ,,3

Подставив значения производных передаточных функций в фор­ мулу коэффициентов ошибок (3.104) и выполнив вычисления, получим

		c ' =	~	i k ;		(3.108)
Со =		kkB(Г. + ктлтъ) - 1
		,2Ь 3
		Irk:
Производные математического ожидания					входного	сигнала
шх — So "Ь S\t	Sot"',	ini1* = Si	+	2Ss^;	nix ^ —	2S'>.

Непосредственно из формул (3.108) следует, что данная следящая система не будет иметь ошибок по положению, если k0 = 1. При этом С0 = 0 (астатизм первого порядка). Полагая, что это условие выполнено, запишем выражение для математического ожидания ошибки системы:

шЕ (0 = — ^ ~ ~ * (Гз +

~ — Т ^

(ЗЛ09)

94

Из последней формулы следует, что математическое ожидание ошибки есть отрицательная линейно возрастающая функция (выход­ ной сигнал вследствие инерции системы отстает от полезного вход­ ного сигнала). Если входной полезный сигнал является линейной функцией времени, то S2 = 0 и математическое ожидание ошибки в установившемся режиме есть величина постоянная:

т Е = ~ ± .

(3.110)

Вычислим дисперсию ошибки. Поскольку полезный сигнал не­ случаен, то дисперсия ошибки равна дисперсии выходного сигнала, т. е. £>е — Dy. Учитывая, что входной сигнал есть белый шум, дис­ персию выходного сигнала вычислим по формуле

(3.111)

эффективная полоса системы:

Доз = J | Ф (/со) |2 dco.

(3.112)

Используя формулу (3.107), представим подынтегральное выра­ жение в виде табличного интеграла (см. приложение 2):

/2 /о .. .9

/!0— h\ (/to)

Ф (tC° ' I2 “ [13 (ПО)* + k (ICO.)2 + 1,1(0 + /0] [l3 ( - 1(0)3+ l3 ( _ /(0)2 _ i j u + lo]

(3.113)

Сравнивая коэффициенты числителя с коэффициентами полинома gn (ia) при п = 3 и коэффициенты полинома в первой квадратной скобке знаменателя с коэффициентами полинома h (гео), приведенными в приложении 2, получаем следующие значения коэффициентов:

£>о	=	0; bi =	—/г?,	Ьо = /г5;
Q.0 =	^3>	a l = ^2i	0,2 =	11 ! Оэ = / о-

По таблице интегралов приложения находим значение дисперсии:

		I lr — ^2ll0
	Gn Дсо	— V'l — —
Dy =		_________*0
	2я	Gn I з — Gn 2I3{.k^O— Wi)

Подставляя значение коэффициентов и преобразовывая выраже­ ние для Dy с учетом того, что /е6 = 1, получаем

		kGfj	(3.114)
		Dу 2(1 + v ) ’
	где параметр
		к-Т4Т,	(3.115)
	v =	4 ' 5
		тз + т5 + кТ\ + кТ4Т5

95

Эффективную полосу системы определяют по формуле

			Дсо =	кл			(3.116)
Второй начальный момент ошибки
а Е =	Si ,	о о	k ( T a + kTAT t) - l		, 2Sa Л 2	, kGN	(3.117)
	к +	-	Л2		+ к 1\	+ 2(Н -т)

В частном случае при линейном входном сигнале второй началь­ ный момент вычисляют по более простой формуле:

kG,y

(3.118)

2(1 +v)

При нулевом значении коэффициента усиления k прямой цепи второй начальный момент ошибки равен бесконечности. При бес­ конечном значении коэффициента усиления k второй начальный мо­ мент ошибки

		Gn (Т, + Г„)	(3.119)
	а Е =	27\,ГВ

На рис. 3.7 представлены графики зависимости второго началь­ ного момента от коэффициента усиления прямой цепи k при следую­

щих значениях параметров: ка = 1,0, Тя =	0,2 с, Г4 = 0,04 с,
Тъ = 0,55 с, Gn — 5. 10_6 рад2.с и различных	значениях скорости

полезного сигнала Si = var. Графики построены по формуле (3.118). Из графиков следует, что существует оптимальное значение коэффи­ циента усиления k 0, обеспечивающее минимум второго начального момента ошибки. При увеличении коэффициента усиления прямой цепи второй начальный момент стремится к установившемуся зна­ чению, вычисляемому по формуле (3.119).

Как следует из рис. 3.7, минимальные значения второго				началь­
ного	момента	для определенных условий	соответственно	равны:
«е, =	3,6. 10"5	рад2, ссе, = 4,7. 10~5 рад2,	а Ез = 5,5- 10-8 рад2.

	20	60	60	80 к, с~'
Рис. 3.7. Второй начальный момент	Рис. 3.8. Эффективная полоса про­
ошибки	пускания		системы

96

Средняя квадратическая ошибка	г) = ]/а Е	для этих же трех слу­
чаев соответственно равна: rjt =	20,6', г|2	= 23,6', гр, = 25,4'.

На рис. 3.8 приведен график зависимости эффективной полосы пропускания системы от коэффициента усиления прямой цепи.

3.6. Система стабилизации угла крена

Летательные аппараты стабилизируются по углу крена у. Дина­ мические свойства летательного аппарата по углу крена описываются уравнением

T+*«V = - a „ 6 + m

(3-120)

где 6 — угол отклонения руля; ахх, ахэ — коэффициенты, зависящие от момента инерции летательного аппарата относительно продольной оси, скорости, высоты полета и аэродинамических коэффициентов; X (t) — возмущение, действующее на летательный аппарат.

Система стабилизации включает измерители угла крена и его производной, усилитель мощности и рулевую машину. Угол откло­ нения руля связан с измеряемыми сигналами соотношением

Гб + 6 = k6 (kLy + k2y).

(3.121)

Исключая из уравнений (3.120), (3.121) угол отклонения руля, получаем уравнение относительно угла крена

Ту + (1 + аххТ) у -[- (ахх -j- aX3k6k2) у -j- aX3kbkty = ТХ X. (3.122)

Структурная схема замкнутой системы стабилизации представ­ лена на рис. 3.9.

Возмущение, действующее на летательный аппарат, имеет ну­ левое математическое ожидание и постоянную спектральную плот­ ность Sx. Поэтому в установившемся режиме математическое ожи­

дание угла крена равно нулю, и дисперсию угла	крена можно вы­
числить по формуле
Dy = j |Ф (ш) |25л. (со) rfco.	(3.123)
— 00
X

Рис. 3.9. Структурная схема системы поперечном стабилизации

7 В. С. Пугачев

97

Частотная характеристика системы от возмущения к углу крена в соответствии с уравнением (3.122)

ф (ко) =	______________________ 1 + ш Г_____________________		(3.124)
	Т (10))я + (1 + аххГ) (,ш)24" (ахх 4~	"Г ахэкфг

Поскольку спектральная плотность входного сигнала постоянная, то для вычисления интеграла (3.123) достаточно определить эффектив­ ную полосу:

	Лох,				| I 4-	!<оТ |2 4(0	(3.125)
		| Г (1 ш )3	+ (1	+	аххТ) ( i® ) 2 4 -	(ахх -I- ахфф„) i(o +
							I 2
	При этом дисперсию угла крена вычисляют по формуле
					Dy =	S x Лео.	(3.126)

Представим числитель в выражении (3.125) в виде полинома по степеням гео:

£„(ш ) = - r * ( t t o ) a + 1.

(3.127)

Знаменатель представим в виде произведения комплексно сопря­ женных полиномов по степеням гео:

1гп (гео) — Т (гео)3 -f- (1 -f- аххТ) (гео)2

(ахх -р

+ aX3k6k2) гео + ахэкък}-

(3.128)

К (-г« ) = Т (-гео)3 + (1 + аххТ) ( - гео)2 +

+ (ахх -г а,эк6к2) (— гео) + а^/гЛ-

Сравнивая полиномы (3.127), (3.128) с аналогичными полиномами числителя и знаменателя табличного интеграла (приложение 2), получаем, что п = 3 и

			Ь0 = 0;	=	—Г 2;	62 =	1;
о0 =	Т-,	=	(1 +ei.VAT);	а2 = аДЛ+			а8 = a V3V Ji-
Эффективная полоса
		Acov = 2л/3 = я		— о„60 -|-		- e?oni^2			(3.129)
					°0 (Оо«3 °1Я2)
Подставляя		значения коэффициентов, получаем
	а			1	аххТ 4- ахэкТ2				1,3.130)
		v -	я ахэк [(1 +	аххТ) (ахх + ахэт) -			кахэТ]	'
где /г =	/г,/г6 — коэффициент			усиления:		г =	к.,к6 — коэффициент

демпфирования системы стабилизации.

Эффективная полоса обращается в бесконечность при равенстве нулю знаменателя. Это соотношение определяет границу устойчи­ вости замкнутой системы стабилизации. Приравнивая к нулю зна-

98

менатель,	получаем	соотношение между	коэффициентами	k и т
в области	устойчивости:
	О <	/е < ахх (1 ~Ь дххТ)	(1 + а ххТ )	(3.131)
		а г„Т

Эффективная полоса пропускания системы имеет экстремум по коэффициенту усиления системы стабилизации. Дифференцируя выражение (3.130) по коэффициенту усиления и приравнивая произ­ водную к нулю, получаем квадратное уравнение

	/г2 +	ak — b — 0,		(3.132)
где		п _ 2(1+ аХхТ) .
		ахэТ
	и _ (1 + аххТ)~ (ахх +		°д-,т)	(3.133)
		а2 Г3
Решая квадратное уравнение, получаем
К =	' те	[— 1 “Г V 1 +	Т (а хх + а хэх ) ] •	(3.134)
	ихэ*

Данная формула определяет зависимость оптимального коэффи­ циента усиления от коэффициента демпфирования и параметров ле­ тательного аппарата. Для одновременного выбора коэффициентов усиления и демпфирования можно воспользоваться наряду с форму­ лой (3.134) неравенством (3.131) или вместо этого неравенства ис­ пользовать условие колебательности переходного процесса. Полагая

в уравнении (3.122) Т = 0, 2£со0 = ахх +		ал-эт,	«о = аХэ k и зада­
ваясь значением коэффициента	затухания	| =	£0, получаем
П£ _	Q.V.V1 Дд'Э^-		(3.135)

Из данного соотношения можно определить зависимость коэффи­ циента усиления от коэффициента демпфирования:

/г0 =	.	(3.136)
	4ддэ1о

При совместном решении уравнений (3.134), (3.136) определяются значения коэффициентов усиления и демпфирования. Проще всего решать эти уравнения графически. Для этого на одном графике строят кривые /е0 = k 0 (т) по формулам (3.134), (3.136). Точка пере-

7*

99