книги из ГПНТБ / Маркузе, Д. Оптические волноводы

5ft

Рлааа 2

Понятия дифракционной решетки и дифракции Брэгга чрезвычайно важны также для понимания голографии, рассмотрение которой выходит за рамки этой книги.

2.2.ДИФРАКЦИОННЫЙ ИНТЕГРАЛ КИРХГОФА — ГЮЙГЕНСА

Наиболее замечательными явлениями, сопровождаю­ щими распространение волн (в противоположность дви­ жению частиц), являются интерференция и дифракция. Дифракцией объясняется появление света в области тени, чего нельзя понять с точки зрения геометрической оптики. Поляризация световой волны играет важную роль при отражении н преломлении световых волн; при рассмотре­ нии дифракции ее влияние можно не учитывать. Особенно это справедливо, если длина волны света существенно короче любого линейного размера предмета, на который падает свет. По этой причине при описании дифракции достаточно использовать скалярное волновое уравне­ ние (1.3.6), игнорируя векторный характер световой вол­ ны. Каждая компонента электромагнитного поля являет­ ся решением волнового уравнения, так что скалярная функция ф может представлять любую (электрическую или магнитную) компоненту волны.

Мы ограничим наше рассмотрение монохроматическим излучением, т. е. излучением определенной частоты. Более общие формы излучения могут быть описаны как суперпозиции его синусоидальных компонент. 13 этом и следующем разделах зависимость от времени выражает­ ся в виде экспоненциального мпожителя

еш ,

(2.2.1)

который во всех уравнениях будет опущен. Использова­ ние зависимости от времени в форме (2.2.1) приводит к тому, что дифференцирование по времени может быть заменено умножением на гео. Тогда волновое уравнение (1.3.6) принимает вид

Т 2ф + к2ф = 0,

(2.2.2)

где к определяется из формулы (1.3.13). Следуя примеру Куранта [4], назовем соотношение (2.2.2) приведенным

Теория дифракции

51

волновым уравнением. Волновое уравнение является урав­ нением в частных производных, содержащим вторые производные как по времени, так и по пространственным координатам. Поскольку производная по времени исклю­ чена из уравнения (2.2.2), название «приведенное волно­ вое уравнение» кажется уместным. Уравнение (2.2.2) известно также как уравнение Гельмгольца.

Решение приведенного волнового уравнения существен­ но упрощается при использовании 6-функции Дирака [5]. Предполагается, что читатель знаком с ее свойствами. Математики не любят работать с 6-функцией из-за ее сингулярного поведения. Однако она очень полезна при решении инженерных и физических задач и часто упрощает вычисления. Использование этой функции обычно приво­ дит к правильным результатам, что подтверждает целе­ сообразность ее применения Д.

Поэтому наряду с уравнением (2.2.2) рассмотрим урав­

нение
V12G + k2G = 6 (г - г').	(2.2.3)

Дельта-функция векторного аргумента может быть рас­ крыта в виде

6(г — г') = 6 (х — х') 6 (у — у') 6 (z — z').	(2.2.4)
Функция G, известная как функция Грина [6],	зависит
от двух наборов переменных:
G — G {х, у, z, х', у', z').	(2.2.5)

Решение приведенного волнового уравнения (2.2.2) может быть теперь получено следующим образом. Умно­ жим обе части уравнения (2.2.2) на G, а обе части уравне­ ния (2.2.3) — на ф и вычтем одно уравнение из другого. После интегрирования по некоторому объему получим

!>(*', У', z ') = ( (фУ2С -С У 2г|))ЙГ.

(2.2.6)

1) Последовательное применение результатов теорпп обобщен­ ных функций делает оперирование с 6-функцпямп п другими син­ гулярными функциями строгим в математическом смысле (см., например, В. С. Владимиров, Уравнения математической физики,

изд-во «Наука», 1971).— Прим. ред.

4*

52

Глава 2

Функцияф с аргументами х' , у', z' получена в результате интегрирования произведения б-функцин на ф. Подынтег­ ральное выражение может быть переписано в виде

ф T 2G — GV2ф = V .(фV G — GVф). (2.2.7)

Используя теорему Стокса [3], преобразующую интеграл по объему в интеграл по поверхности, ползучим решение приведенного уравнения в виде

+

( l , * - - a ° ± ) d S .

(2 .2 .8)

S

Интегрирование проводится по замкнутой поверхности S,

ап — направление внешней пормали к этой поверхиости

Фи г . 2.2.1. Геометрическая иллюстрация представления интеграла (2.2.8). Поверх­ ность S окружает точку на­

блюдения. Единичный век­ тор п нормален к поверхно­ сти.

(фиг. 2.2.1). Точка х', yr, z', в которой вычисляется функ­ ция ф, расположена внутри замкнутой поверхности S. Может показаться, что, получив формулу (2.2.8), мы не многого достигли. Однако в однородных средах функцию Грина найтп не трудно, а функция ф на поверхности S в типичных дифракционных задачах по крайней мере частично известна.

Функция Грина в свободном пространстве дается выра­

	жением	1	e~ihr
	G—			(2.2.9)
		4л	г
	где
				(2.2.10)
	г=[(х' - х У + ( у ' - y f + ( z ' - z f ) l/2.

Легко показать, что выражение (2.2.9) является решением уравнения (2.2.3). Вычислим первую частную производ-

Теория дифракции

53

нуго G по х :

	г.—х' е~^1т
- 4я ж = - ( гА+ т ) -	(2.2.11)

Дифференцирование этого выражения второй раз дает

— 4я	дЮ	(X— я')2	ik
	а.г-2	Рз	Г2

(2.2. 12)

Вторьте производные по у и z имеют томно такой же вид, с тем лишь исключением, что х — х' заменяется на у — у' или г — ъ' соответственно. Тогда сразу же получаем

\ 2G -f k2G = 0 для г ф 0.

(2.2.13)

При г 0 функция G имеет сингулярность так что соот­ ношения (2.2.11) и (2.2.12) не справедливы в этой точке. Для изучения природы сингулярности производных запи­ шем интеграл

j {V2G-]-k2G)dV = I.

(2.2.14)

г

Согласно уравнению (2.2.13), подынтегральное выраже­ ние равно нулю везде, за исключением точки г = 0. Определим значение интеграла по бесконечно малому объему и, включающему точку г = 0, используя следую­ щее соотношение:

I = Пт \	(V2G-\-k2G)dV= lim ( V G -nds+lim k2 \ GdV.
V-+О J	р-*-0 J	v-*-0 J
v	s	v
		(2.2.15)

В качестве поверхности s выберем бесконечно малую сфе­ ру радиуса р, окружающую точку г = 0; вектор п являет­ ся внешней нормалью к этой сфере. Второй член в правой части можно вычислить, используя выражение (2.2.9)

П т	dV =	r d r = 0 .	(2.2.16)
V—о

V

54 Глава 2

Первый член правсш части в (2.2.15) может быть вычислен

также	легко:
lim j	VG-nds = lim р2 j dQ ^ ("^г) sin 0 dtp =

	<2-2Л7)
Используя формулы (2.2.16) и (2.2.17), получим
1 = 1.	(2.2.18)

Это как раз тот результат, который мы должны получить из определения функции Грпиа. Проведенные здесь вычис­ ления показывают, что функция Грина (2.2.9) действитель­ но удовлетворяет уравнению (2.2.3). Левая часть уравне­ ния (2.2.3) обращается в нуль везде [см. формулу (2.2.13)], за исключением точки г — 0. Сингулярность в этой точке должна описываться 6-функцией, потому что интеграл по бесконечно малому объему, включающему сингуляр­ ность, равен единице.

Подставляя выражение (2.2.9) в (2.2.8), получаем

искомое		решеппе		волнового уравнения
ф(х',	г/,	z') =	4л	(2.2.19)
Здесь	вектор		п	задает направление внешней нормали,

т. е. этот вектор направлен наружу от объема, содержащего точку х' , г/', z'.

Дифракционный пнтеграл Кирхгофа — Гюйгенса (2.2.19) очень полезен для решения большого числа диф­ ракционных задач. Однако следует иметь в виду, что существуют и другие способы решения задач дифракции. Например, в выражение (2.2.8) можно подставить и дру­ гие функции Грина. Можно выбрать функцию Грина, являющуюся решением уравнения (2.2.3) и удовлетворяю­ щую, кроме того, определенным граничным условиям на поверхности S [7]. Функция Грина может быть выбрана так, чтобы она обращалась, например, в нуль на поверх­ ности S. Такая специальная функция Грина в выражериц (2.2.8) обращает в нуль член, содержащий 5ф/5ге,

Теория дифракции

55

Это упрощает задачу, потому что теперь достаточно знать па поверхности S лишь функцию ф. Однако это «упроще­ ние» достигается за счет использования вместо простой функции (2.2.9) гораздо более сложной функции Грина. Фактически функция Грпиа, которая удовлетворяет гра­ ничному условию G = 0 на поверхности S , может быть найдена только для задач с простейшей геометрией. Другая возможность заключается в том, чтобы исполь­ зовать функцию Грина, которая удовлетворяет гранич­ ному условию dGIdn = 0 иа S. В этом случае, чтобы оце­ нить интеграл (2.2.8), надо знать на поверхности S вели­ чину длр/дп. Нахождение такой функции Грина конечно ие легче, чем в предыдущем случае.

Вместо того чтобы искать решения волнового уравне­ ния в форме выражения (2.2.8) с подходящей функцией Грина, можно использовать метод разложения поля по плоским волнам, в общих чертах описанный в разд. 1.3. Для примера в разд. 2.3 мы решим простую дифракцион­ ную задачу двумя методами: используя интеграл Кирхго­ фа — Гюйгенса (2.2.19) и находя решение в виде супер­ позиции плоских волн в соответствии с формулой (1.3.23).

Для практических расчетов часто полезно использо­ вать некоторые приближения дифракционного интегра­ ла (2.2.19). Первое приближение, которое почти всегда справедливо для оптических задач, основано на малости длины волны света. В большинстве задач, представляю­ щих практический интерес, точка х' , у’, s', в которой вычисляется функция ф, удалена от S иа много длин воли, так что условие

/с » 1

(2.2.20)

справедливо для всех г, входящих в интеграл (2.2.19). Тогда можно пренебречь производной от 1/г по сравнению с производной от ехр (—ikr) и записать приближенное выражение

ф(а:', у', z‘)= ± - j

+

Ф) -e^ - d S . (2.2.21)

Следующее приближение связано с получением для г более простого, чем (2.2.10), выражения. Аппроксимация для г

56

Глава 2

возможна в тех случаях, когда апертура отверстий диф­ ракционных экранов мала по сравнению с расстояниями от них до экранов, на которых исследуются поля. Б этих случаях удовлетворяются условия

\х' — -г' I < I z' — z | и | у' — у | < | z' — z |.

		(2.2.22)
Тогда удобно	для величины г использовать	разложение
в ряд Тейлора
Г=	1 (» > - ,x ) i + { y ' - y ) i .	(2.2.23)
	2

Важно отметить, что выполнения только условия (2.2.22) еще недостаточно для использования в выражении (2.2.21) приближения (2.2.23). Поскольку г входит в экспонепту в (2.2.19) в комбинации кг (а это большое число), то имен­ но произведение к на отброшенные малые члены выра­ жения (2.2.23) должно быть мало по сравнению с едпппцей. Если это обстоятельство не учесть, могут возникнуть существенные ошибки.

Наконец, возьмем в качестве поверхности S непро­ зрачный плоский экран с отверстием. На этот экран слева падает плоская волна. Это простейшая дифракционная задача, но именно благодаря своей простоте она поможет глубоко понять свойства дпфракцпн света. Физические аспекты этой задачи мы обсудим в следующих разделах. В этом разделе рассмотрим лишь различные приближен­ ные формы дифракционного интеграла. Геометрия дифрак­ ции на отверстии в экране показана па фиг. 2.2.2.

	В соответствии с выбранной	геометрией
	д _ _ __ 0_	’	(2.2.24)
	dz

так что, используя формулу (1.3.21) и положив g = яр, имеем

— ^ - = ikz\|)= ik\\>cos у.

(2.2.25)

Производная от г равна

	дг	дг	z' — z	cos а,	(2.2,26)
	дп	5?	Г

Теория дифракции

57

Используя формулы (2.2.25) и (2.2.26), получаем из (2.2.21)

ф (*', у', =	[	(cos у-]-cos а) ф (ж, у, z ) ^ - d S .
	Л	(2.2.27)

Поверхность S, по которой производится интегрирование, включает экран, показанный па фиг. 2.2.2, и бесконечную

Ф н г. 2.2.2. Дифракция плоской волны на щели в бесконечном непрозрачном экране.

полусферу, ограничивающую пространство справа от экра­ на. Мы рассматриваем падающую волну как часть очепь длинного, но конечного цуга воли. Конечный цуг волн не может достичь бесконечной полусферы за конечное время, так что интеграл по поверхности этой полусферы обращается в нуль. По-видимому, выражение (2.2.27) столь же точно, как и (2.2.21), из которого оно получено. Однако мы заменили область интегрирования S на А, т. е. интегрирование проводится теперь только по аперту­ ре отверстия А в экране. При переходе от (2.2.21) к (2.2.27; подразумевается, что поле ф и его производная дтр/дп

58 Глава 2

обращаются в нуль иа непрозрачном экране. С первого взгляда это предположение может показаться логичным. Однако можно проверить, что решение волнового уравнения обращается в нуль везде, если оно и его первая производ­ ная одновременно обращаются в нуль на любом конечном интервале [4]. Это означает, что, строго говоря, наше предположение, состоящее в том, что поле н его первая производная обращаются в нуль на непрозрачном экране, противоречит условию, что функцияф должна быть реше­ нием волнового уравнения. Другими словами, это пред­ положение несовместимо с тем фактом, что формула (2.2.19) получена как решение волнового уравнения. Действитель­ но, если мы вычислим значенияф из (2.2.19), предполагая, что функция ф ц ее пормальная производная равны нулю на непрозрачном экране, то придем к противоречию, не получив ф, обращающуюся в нуль вместе с производ­ ной на экране. Это обстоятельство представляет серьезную математическую проблему. Чтобы можно было использо­ вать дифракционный интеграл, необходимо зпать значе­ ния ф и ее пормальной производпой не только на отвер­ стии, но н на экране. Итак, чтобы получить желаемое решение, необходимо знать функцию в области, где мы ее не можем знать. К счастью, несмотря на эту математи­ ческую дилемму, соотношение (2.2.27) приводит к резуль­ тату, хорошо совпадающему с экспериментальными дан­ ными. Нарушение математических принципов, по-видимо­ му, не настолько серьезно, чтобы быть преградой при получении полезпых результатов. Значеиияфп ее пормаль­ ной производной очень малы па экране и могут быть изме­ рены только в непосредственной близости от отверстия. Малая ошибка, которая возппкла пз-за предположения о равенстве функции нулю, не столь существенна, чтобы привести к заметным неприятностям. Дифракционный интеграл в виде (2.2.27) широко и успешно используется при решении задач оптической дифракции и при расчетах СВЧ-антенн. Строго говоря, несправедливо и другое пред­ положение, которое подразумевается в (2.2.27), о том, что поле в отверстии такое же, как и поле падающей вол­ ны при отсутствии экрана. Однако это возражение той же природы, что и касающееся равенства ф нулю на экра­ не,

Теория дифракции

59

Во многих случаях апертура отверстия в экране настолько мала *) и точка х ', г/', г' настолько близка к оси, что можно получить

cos а ~ 1.

(2.2.28)

Если, наконец, плоская волнападаетперпендикулярно или по крайней мерепочти перпендикулярно к поверхно­ сти отверстия, так что можно считать

cos у	= 1,	(2.2.29)
то
Ф (я\ у', Z') = Y j	У>z) -Ey ^ d S .	(2.2.30)
А

Приближение (2.2.30) интересно не только с практической, но и с исторической точки зрения. Гюйгенс в 1690 г. высказал догадку, что распространение световых волн можно описать интегралом такого вида. Чтобы понять интерпретацию выражения (2.2.30), использующую прин­ цип Гюйгенса, рассмотрим волну, описываемую форму­ лой (2.2.9), более внимательно. В разд. 1.3 показано, что волна, описываемая равенством (1.3.21), является сину­ соидальной плоской волной, распространяющейся со

скоростью	v — соНс в направлении" вектора к.		Подобные
аргументы	показывают,	что формула (2.2.9)	описывает
сферическую волну, распространяющуюся со			скоростью
и = со/к в	радиальном	направлении от исходной точки

г = 0. В точке расположения источника (г = 0), генери­ рующего сферическую волну, амплитуда волны бесконеч­ на. Амплитуда сферической волны не постоянна, а равно­ мерно убывает как Иг.

Физический смысл выражения (2.2.30) теперь ясен. Каждая точка отверстия может рассматриваться как источник сферической волны. Сила источника опреде­ ляется амплитудой падающей волны в этой точке отвер­ стия. Поле в точке х ', г/', z' образуется в результате супер­ позиции всех сферических волн, достигающих этой точки. Интуитивно ясно, что это объяснение обладает внутрен­ ней логикой; оно было предложено Гюйгенсом без реше-

*) Мала по	сравнению с расстоянием от экрана, по волпка
по отношению	к длине волны.— Прим. ред.