книги из ГПНТБ / Маркузе, Д. Оптические волноводы

40 Глава 1

Аналогичным образом получается отношение отраженной мощности к падающей:

	RЕ	(щ cos cq— l/ n | —п\ sin2 а р 2		(1.6.33)
		(«1 cos cq	~\/п \— nfsin2 cq)2

Эти соотношения справедливы лишь в тех случаях, когда квадратный корень в (1.6.32) и (1.6.33) является вещест­ венным. Случай мнимого корня требует более детального рассмотрения. Квадратный корень становится мнимым, когда угол а! превышает свое критическое значение, определяемое формулой (1.6.23). В результате получается полное внутреннее отражение; распространение волны

всреде 2 отсутствует. Компонента к2х волнового вектора

всреде 2 становится мнимой, так что компонента п2х единичного вектора, которая входит в формулу (1.6.6), также мнимая, в результате чего выражение (1.6.25) обращается в нуль, если его применить к прошедшей волне. В случае полного внутреннего отражения коэффи­ циент прохождения

Т= 0,

акоэффициент отражения

R = 1.

Это становится очевидным, если учесть, что в этом случае

отношение	к2х/к1х является чисто	мнимой величиной
и квадрат	абсолютной величины В,	как следует из фор­

мулы (1.6.14), равен		| А |2. В общем случае, когда при­
сутствуют	как отраженная, так и прошедшая волны,
из формул	(1.6.32) и	(1.6.33)	вытекает	равенство
		Т + R =	1,	(1.6.34)

что указывает на сохранение полной энергии в рассматри­ ваемом процессе.

Выражения для коэффициентов прохождения и отра­ жения упрощаются, когда волна падает на граничную поверхность между двумя диэлектрическими средами под прямым углом. Полагая cq = 0, из формулы (1.6.32) получаем

j, 4гцп2

(1.6.35)

Е ~~ (Ч + Ы 2 ’

Волновая оптика

41

	а из (1.6.33) следует, что	(п{ —ге2)2
	Д е =		(1.6.36)
		( » ir « s ) 2

Другой крайний случай — случай скользящего падения — должен быть рассмотрен отдельно для каждого из двух возможных вариантов. При «j > nz имеем полное внутрен­ нее отражение и вся мощность отражается при углах падения, больших критического. В случае щ < п2 полное внутреннее отражение отсутствует, но в пределе, когда

волна падает параллельно	стенке (а4 = 90°), получаем
из формул (1.6.32) и (1.6.33)
Т Е =	0

Таким образом, при скользящем падении вся мощность отражается от границы раздела диэлектриков независимо от того, падает ли волна на оптически более плотную или менее плотную среду.

До сих пор речь шла о частном случае, когда вектор Е падающей, а также отраженной и прошедшей волн параллелен граничной поверхности. То обстоятельство, что векторы Е отраженной и прошедшей волн направлены параллельно вектору Е падающей волны, вытекает из уравнений Максвелла и граничных условий. Решения граничных задач единственны. Поэтому если получено некоторое частное решение, то никакое другое решение не может существовать.

Рассмотрим, наконец, случай падения плоской волны на плоскую границу раздела двух диэлектрических сред, когда вектор Е волны лежит в плоскости, определяемой волновым вектором и нормалью к поверхности. Свойства плоских волн проходить и отражаться от границы раз­ дела сред зависят от их поляризации, так что необходимо исследовать волну, поляризованную перпендикулярно поляризации, рассмотренной выше. Пусть в среде 1 имеет место суперпозиция падающей и отраженной волн:

Ex = Aeixe - ^ + B e 3xe~*v,	(1.6.37)
Ez= Aeize-*i'+Be3ze-"w,	(1.6.38)
j / ^ e-ik3r.	(1.6.39)

42

Глава 1

В среде 2 прошедшая волна в общем случае имеет вид

(1.6.40)

(1.6.41)

(1.6.42)

Выражения (1.6.37) — (1.6.42) являются решениями урав­ нений Максвелла. Коэффициенты А, В, С, а также направ­ ления волновых векторов должны определяться из гра­ ничных условий (1.5.3) и (1.5.4). Граничные условия при х — 0 приводят к уравнениям (напомним, что ку — 0)

Ае1ге ~ ^ г-\-Ве3ге - ^ - г= С е - ^ г,

(1.6.43)

4е-«ч**+Яе-1кк*= ] / ' iiCg-ifcM*. (1.6.44)

Если потребовать, чтобы эти уравнения не содержали зависимость от z, то вновь приходим к условию (1.6.9). Ввиду того что соотношения между компонентами волно­ вых векторов такие же, как в рассмотренном выше случае, можно утверждать, что закон Спеллиуса (1.6.19) справед­ лив и для этой поляризации. Направления отраженной и прошедшей воли в точпостп такие же, как и в предыду­ щем случае, т. е. они не завпсят от поляризации. Также наблюдается явление полного внутреннего отражения, если имеет место переход из более плотной в менее плотную среду.

Осталось определить отношения CIA и В!А из урав­ нений

Aeiz + Be3z — CeZz,			(1.6.45)
АЛ-В = ^ С .			(1.6.46)
1	«1
Их решения
С =	По	А,	(1.6.47)

(1.6.48)

Волновая оптика

43

Составляющие векторов е можно выразить через компо­ ненты векторов к, если воспользоваться соотношением

(1.4.5)j которое может	быть	записано	также	в форме
к г-ег =	0,	i = l, 2,	3.	(1.6.49)

Поскольку для рассматриваемой поляризации еу = 0, то

&iz _	^ix	(1.6.50)
eix	kiz
Это уравнение совместно с условием нормировки
егх~\~еи — 1		(1.6.51)
дает возможность определить составляющие ez:
— Jh*		(1.6.52)
eiz—	kl ’
	kox	(1.6.53)
	Л2
		(1.6.54)
e3z:= ~^iz-

Знак минус в последнем уравнении необходим, чтобы избежать противоречия между (1.6.45) и (1.6.46). Оконча­ тельно, используя формулы (1.6.17) и (1.6.20), получаем

решения		2А____
С = —				(1.6.55)
ТЬо		п\	4'2х ’
		п2	kix
п 2		ni	4~2х
__ ni	|_	п2	к1.x	(1.6.56)
а2		а1 к2х
«1	'	п2	kix

Выражения для коэффициента прохождения и коэффици­

ента отражения	получаются из соотношений	(1.6.29)
и (1.6.30) с учетом формулы (1.6.31) *):
Т к	4tii cos a.i ~\/п\ — n'l sin2 ai	(1.6.57)
п-	^ л2cos aj -|—~~ V /г | — n'l sin2 aj j
^ п2 cos a i — ~ ~\//г|— nj sin2 a i j		(1.6.58)
R н-

^n2 cos ai + " ~ ~Vn\ —nt s'n2 j "

О Легко показать, что равенства (1.6.29) п (1.6.30) в этом слу­ чае также справедливы.

44

Глава 1

Эти выражения справедливы только для вещественных значений квадратных корней. Для мнимых значений вновь получается Т = 0 и R = 1. Легко видеть, что и для RH и Тн имеет место сохранение энергии (1.6.34).

Коэффициенты отражения и прохождения в обоих рассмотренных случаях имеют одинаковый вид. Однако имеется одно существенное отличие. Нетрудно показать, что коэффициент R e, определяемый формулой (1.6.33), никогда не обращается в нуль при щ Ф п2. Коэффициент же отражения RH волны с электрическим вектором, лежа­ щим в одной плоскости с вектором к и нормалью к поверх­ ности, обращается в нуль при

sinai = - 7 = ^ =

(1.6.59)

[см. формулу (1.6.58)]. Угол, определяемый выражением (1.6.59), известен как угол Брюстера. Волна, поляризо­ ванная в плоскости падения (плоскость падения опреде­ ляется вектором к и нормалью к отражающей поверх­ ности), проходит через границу без отражения, если она падает под углом Брюстера. Формулу для угла Брюстера можно записать более изящно:

tgaiB = - ^ •

(1.6.60)

Используя Вакоп Спеллнуса (1.6.19), можно записать угол Брюстера преломленной волны в следующем виде:

tg a 2B = -^L -

(1.6.61)

Сравнение выражений (1.6.60) и (1.6.61) показывает, что если волну направить под углом а 2 и при этом заме­ нить показатель преломления среды 1 на п2, а в среде 2 взять щ, то волна снова будет падать под углом Брюстера. Иными словами, если направление волны, падающей под углом Брюстера, изменить на обратное, то, возвращаясь по пройденному пути, она снова пройдет без отражения. Волна, падающая на стеклянный предмет под углом Брю­ стера, проходит стекло без отражения, если обе поверх­ ности стекла параллельны.

Волновая оптика

45

Направления отраженной (если она существует) и про­ шедшей воли находятся в замечательном соотношении друг с другом, если волна падает под углом Брюстера. Чтобы получить это соотношение, перемножим выражения (1.6.60)

и (1.6.61):

tg a 1Btg a 2B = l-

Это соотношение можно представить следующим образом:

cos aiE cos a2B — sin a iB sin a 2B=cos (ocib-|-cc2b)=:0. (1.6.62)

Отсюда имеем, что сумма углов падения и прохождения при условии, что волна падает под углом Брюстера, равна 90е:

a iB + a 2B = 90o.

(1.6.63)

Характеристикой угла Брюстера является отсутствие отра­ женной волны. Однако закон отражения формально имеет место, так что отраженная волна, если бы она существо­ вала, шла бы под углом а зБ = а 1Б, т. е.

«зв-|-а2Б = 90о.

(1.6.64)

Из фиг. 1.6.1 видно, что при условии выполнения соотно­ шения (1.6.64) направления прошедшей и отраженной волн составляют прямой угол.

Направления падающей, прошедшей и отраженной (если бы она имела место) волн показаны на фиг. 1.6.2. С ее помощью можно объяснить существование угла Брюстера. Для этого нужно знать, что явления отраже­ ния и преломления обусловлены изменением фазовой ско­ рости вследствие взаимодействия поля со связанными электронами в материале среды. Электроны осциллируют с частотой световой волны. Осциллирующие электроны в свою очередь излучают вторичные световые волны. Суперпозиция падающей световой волны и волны, вызван­ ной осциллирующими электронами, является причиной появления отраженной и преломленной волн. Внут1ш материала проходит лишь преломленная волна, которая

возникает при совместном действии	падающей волны
и вынужденных колебаний электронов.	В связи с тем что

плоское электромагнитное поле содержит лишь попереч­ ные волны [см. формулу (1.4.5)], вынужденные колебания

46

Рлава 1

электронов под влиянием преломленной волны происхо­ дят перпендикулярно распространению этой волны. Падающая волна, электрический вектор которой поляри­ зован в плоскости вектора к и нормали к поверхности диэлектрика, заставляет электроны внутри материала совершать колебания в той же плоскости. На фиг. 1.6.2

Ф п г. 1.6.2. К объяснению существования угла Брюстера.

маленькой двойной стрелкой указано направление вынуж­ денных колебаний электронов. Из формулы (1.6.64) вид­ но, что электроны движутся параллельно направлению, в котором должна была распространяться отраженная волна. По теории излучения электрического диполя [2] электроны не излучают в направлении своего движения. Следовательно, отраженная волна, обусловленная переизлучением осциллирующих электронов, не может суще­ ствовать.

Явления обычного отражения и преломления, угол Брюстера и полное внутреннее отражение отображены на фиг. 1.6.3 и 1.6.4, где представлены графики коэффи­ циентов прохождения и отражения, определяемых фор­ мулами (1.6.32), (1.6.33), (1.6.57) и (1.6.58). На фиг. 1.6.3

Волндвая оптика

А1

изображены графики коэффициентов отражения и про­ пускания для обеих поляризаций, когда волна входит из среды 1 в более плотную среду 2 (nv < nz). В этом слу­ чае явление полного внутреннего отражения отсутствует.

л,, град

Ф и г. 1.6.3. Зависимость коэффициентов	отражения RE	и	R h
и коэффициентов прохождения ТЕ и Тн от угла падения a t		в сре­
де 1. Точка RH = 0 определяет угол Брюстера. Среда 2 (л2 =			1,5)
более плотная, чем среда 1	(гг! = 1).

Из кривой Rji видно исчезновение отраженной волны при угле Брюстера. При отношенпи n2jn i = 1,5 (фиг. 1.6.3) угол Брюстера равен 56°. На фиг. 1.6.3 видно также, как растет коэффициент отражения, когда волна падает под все более пологими углами. Величина R приближается к единице, когда угол падения близок к 90°.

Фиг. 1.6.4 относится к случаю, когда волна входит в среду с меньшим показателем преломления. В этом слу­ чае возможно полное внутреннее отражение. Для п^)г2 = = 1,5 угол полного внутреннего отражения равен 41,8°.

48

Глава 1

Таким образом, простой пример плоской волны, про­ ходящей через поверхность раздела диэлектрических сред,

О	20	АО	60	во	ю о
			а,, град

Ф и г. 1.6.4. Зависимость коэффициентов отражения п прохождения от угла падения а! для света, падающего из более плотной среды 1 (ni = 1,5; н2 = 1). Отчетливо различимы угол Брюстера (RH = 0)

н полное внутреннее отражение.

содержит много важпого и полезного для физиков. Другие примеры распространения волн в диэлектрической среде будут рассмотрены в последующих главах.

2

ТЕОРИЯ ДИФРАКЦИЙ

2.1. ВВЕДЕНИЕ

Дифракция является характерной чертой явления рас­ пространения воли. Если рассматривать свет с точки зре­ ния геометрической оптики, то следует ожидать появле­ ния за краем непрозрачного препятствия резких теней. Однако из волновой оптики следует, что резких теней не может быть, потому что часть света проникает в область геометрооптической тени. Важным применением теории дифракции является изучение поля в области, соответ­ ствующей большим углам расходимости коллимирован­ ного пучка света. Если плоская волна падает на отверстие в непрозрачном экране, то за экраном световой луч начи­ нает расходиться и вдали от отверстия заходит в область, определяемую углом расходимости прошедшего светового пучка. Этот угол зависит от соотношения между размером отверстия и длиной волны света.

Знание свойств дифракции существенно для понимания работы фокусирующих световодов, рассматриваемых в гла­ ве 5. В настоящей главе математический аппарат описания дифракции использован при рассмотрении характерных примеров. Наиболее элементарными примерами являются случаи дифракции на щелн и на круглом отверстии в не­ прозрачном экране. В этой главе рассматривается также дифракция Брэгга. Часто это явление называют отражением Брэгга. Мы выбрали термин «дифракция Брэгга» потому, что это явление имеет место в трехмерной дифракционной решетке. Дифракция Брэгга может рассматриваться как особый случай рассеяния света. Рассмотрение дифракции Брэгга с помощью метода «связанных» волн, проведенное в последнем разделе этой главы, представляет собой при­ мер анализа явления взаимодействия волн, которое будет обсуждаться также и в последующих главах.

4-087