книги из ГПНТБ / Шимура Г. Введение в арифметическую теорию автоморфных функций

10

ОБОЗНАЧЕНИЯ

Я

ТЕРМИНОЛОГИЯ

=

Gal(KiF).

Если

хи . . ., хп

— элементы

поля

К,

то

через

F{xy,

. . ., хп)

обозначается

подполе в К,

порожденное

над

F эле­

ментами

xi,

. . .,

хп.

(См.

также

дополнение

1).

Для

подполей

Fu

. . .,

Fm

поля К мы обозначаем через F± . . .

Fm

их

композит,

т. е. наименьшее

подполе поля

К,

содержащее Fif

. . .,

Fm.

Если

о* — какой-нибудь

изоморфизм поля К в другое поле,

то

через х°

обозначается

образ элемента х £ К

при а,

так что

(ха)х

=

хах.

0.4. Символом Q обозначается алгебраическое замыкание поля

рациональных чисел Q в поле комплексных чисел С. Под полем

алгебраических чисел мы подразумеваем какое-либо подполе поля Q.

Простой

дивизор г)

поля

алгебраических

чисел

F — это

любой

класс эквивалентности нетривиальных нормирований на F.

Макси­

мальным порядком

поля F мы называем кольцо всех целых алгебраи­

ческих чисел из F. Если F имеет конечную степень над Q, то любой неархпмедов простой дивизор поля F однозначным образом соответ­ ствует некоторому простому идеалу максимального порядка поля F; такой идеал мы называем простым идеалом в поле F. Если г — произвольный дробный идеал поля F, то N(r) обозначает его абсо­ лютную норму, т. е. положительное рациональное число, порож­

дающее дробный идеал				N^/Q(X) В поле Q. Иногда число,			комплексно
сопряженное		числу х		из Q,	обозначается через	хр.
	0.5. Если	а и b — целые			рациональные числа, то		через		(а,	Ь)
мы обозначаем такое целое положительное число d, что dZ =									аЪ	+
+	ЪЪ (исключая		случай а =		Ъ = 0). В частности,	(а,	Ъ) = 1		тогда
и	только тогда,		когда	а и & не имеют общих делителей,				отличных
от	± 1 .
	0.6. Символом [X : Y] обозначается индекс подгруппы Y							в группе
X	или размерность векторного пространства X над полем Y,							в частно­
сти степень алгебраического расширения X поля Y.							Конкретные
различия будут			видны из контекста. Если / — гомоморфизм						одной

группы в другую, то его ядро будет обозначаться через Кег(/). Иногда

под словом изоморфизм будет подразумеваться всего		лишь	инъек-
тивный гомоморфизм. Например, мы будем говорить об		изоморфизме
квадратичного	расширения К поля Q в кольцо M 2 ( Q ) ,	вместо того
чтобы говорить	об изоморфизме поля К на некоторое подполе		кольца
M 2 ( Q ) .

0.7. Символ i d используется для обозначения тождественного отображения того множества, которое определяется по контексту. Если отображение /, определенное на множестве X, является тож­ дественным на некотором подмножестве Y множества X, то мы пишем f = id на Y.

0.8. Что касается терминологии и обозначений из алгебраической геометрии, см. дополнение в конце этой книги.

Простой дивизор (по-английски prime divisor) в оригинале часто назы­ вается просто prime.— Прим. перев.

список символов

(За исключением нескольких символов в конце списка, все перечисляются в порядке латинского алфавита)

Ак(Г) 50

Aut( ) 9, 142, 181

С9

А(полугруппа) 80, 81 Алг 93

А%, A'N 95 А' 96, 218

А; А" 108

A, A (z) (дискриминант, па­ раболическая форма) 54, 131

deg(A) (А — дивизор) 57

deg(x)(x=				2	с„-(Г^а^Гц ))
77				*
deg(A)		(X — рациональное
отображение)					148
det(		)	9,	183
div(		) 57,		58,		60
Ш, i f i , §2>				<?з	143
End(		,	)	9
End(		), E n d Q (				) 131, 314
/о!	/а>	fai		fa	1/1
% 186, 302
%N	186
% s	195,		302		301
Фа	197,		198,
GA,	GA+,			Gq,		Gq+, Ga>,
Gal(		)	G « + ,			G0 183, 295
			10
Gh{T)		50
G L n (		)	9
GL2 + (R) 22
Г'	25,	218
г;,	г"	Ю7
T0(N)		44		39,		81
TN,	T(N)

r s	195,		218, 300
[ l > r 2		] , t	102
1Г;аГ;],( 1 М ) 108
g%{*),		8з{*)		54
£ 2 ( ш ь		co2);		g3(ait	co2) 133
H	9,	296
g	22
§ *	26,		193
fei	143
i d	10
il(	)	152
Ira(		)	9

i (главная инволюция) 100, 296

j(a,		z)	22,		48
7 B ,		№		131
j(z)		133
J(z)		54,		134
JTB		(	)	197,		301
A.v		177,		178
As		184, 301
Ker(			)	10
Us,		/,	x)		125
A,w		93
M n		(	)	9
N{		)	10
I n		9
g>(u; соi, co2),						W 'Ы; ш ь ш2 )
132,_133
Q.	9	Q,	Q P		9
R
Re(		)	9
Д(Г, A) 80
p	(комплексное сопряже­
ние) 10,				162
Sh(T)			50

12
Sk(T'0,			а|>) 108
SL„(			)		9	184,		301
a(x)			(x	E GA)
ач		100
T(m)			87			8	3
Г ( т ) ,				Па,		d)	99
2"("»)f c .*,					Г (а,		й ) й , ф 109
tr(		) 9,			296	117,		219
т	(матрица)
T(S)			( Я	6 GA+)		189, 302
С/,		C/j V		183,		184,		217
JJI		218			301
7 s		1 9	7 >
Щу\			123
Z r	g		215
7	7		"о
'	Z	p	J

список символов
ф;			УIk)			209,		210
£(S ; А/к,						F)	238
Tx		{T -				ассоциативное
кольцо)					9		Г -Г ^ ^ Л			^ ..49
Z a b	'		К	*
						{ К		ч п с л о в о е
{г		f	У		^	,	т		w o
I[ a	]	"	( a		€ GLS(R))				48
[ X	: Y ]				( X - y			_ Г Р У П П Ы
f.™			™ л		я )	1	0	й
W			( 7		-	многообразие,
определенное над полем /с)
148			310			простои			ДИВИ-
					—

3 0 Р ' ~~ алгебро-геомет- рический объект) 151

ip 220

РЕКОМЕНДАЦИИ ЧИТАТЕЛЮ

Эта книга написана неравномерно — разные ее части предна­ значены для читателей с различной математической подготовкой.

Тот, кто хорошо знаком с элементарными свойствами топологи­ ческих групп и римаиовых поверхностей, не встретит никаких труд­ ностей в гл. 1—3. В § 2.3 нужна теорема Римана — Роха для ком­ пактной римановой поверхности. Точно так же в доказательстве предложения 2.15 потребуется свойство делимости якобиева мно­ гообразия. Далее, в § 3.5 используется теорема Веддербёриа об алгебрах с радикалом. Читателю, не знакомому со всеми этими теоремами, мы советуем попросту принять на веру их формулировки, потому что в остальной части названных глав они не понадобятся.

После первых трех глав читатель может переходить прямо к гл. 8, для понимания которой нужны лишь элементарные сведения о гомологиях и когомологпях групп и симплициальных комплексах.

Главы 4—6 предполагают знание эллиптических кривых и теории полей классов. Мы советуем читателю просмотреть дополнение

прежде, чем читать эти главы: даже если	он хорошо разбирается
в предмете, его уверенность в обращении с	алгебро-геометрической
терминологией возрастет.

Последний параграф гл. 5 и значительная часть гл. 7 и 9 пред­ назначены для наиболее подготовленного читателя. По этой причине стиль изложения здесь несколько отличается от стиля остальной части книги, хотя автор убежден в том, что и для неопытных читате­ лей уровень не будет слишком высоким.

В конце каждого параграфа дается несколько упражнений. Часть из них — обычные приложения изложенного в тексте. Однако зачастую эти упражнения представляют собой формулировки вто­ ростепенной важности, которые в большей книге могли бы быть при­ ведены как теоремы или примеры с детальными доказательствами.

14	РЕКОМЕНДАЦИИ ЧИТАТЕЛЮ

Во всяком случае их будет не слишком трудно решать при помощи тех методов, которые развиваются в основном изложении.

Теоремы, предложения, леммы, замечания и упражнения нуме­ руются в единой последовательности на протяжении каждой главы. На выделенные формулы, формулировки и допущения даются ссылки в скобках; например, ссылка (3.5.7) означает: теорема, предложение, формула... 7 из § 3.5.

Г Л А В А 1

ФУКСОВЫ ГРУППЫ ПЕРВОГО РОДА

§ 1.1. Группы преобразований п факторпространства

В этом параграфе мы обсудим некоторые элементарные свойства группы преобразований, действующей на топологическом простран­ стве. Все топологические группы предполагаются хаусдорфовыми.

Пусть G — топологическая

группа

и

S — топологическое

про­

странство. Мы говорим, что G непрерывно

действует на

S

или что

G является группой

преобразований

топологического пространства

S,

если задано непрерывное отображение G X

S Э (g,

s) >-* gs 6 S, удо­

влетворяющее

следующим

условиям:

(i)

(ab) s =

a(bs)

для

a £ G,

b

6 G,

s £ S;

(ii) es =

s для всех s

£ S,

где e — единичный

элемент

группы G. Очевидно, для каждого

g £ G

отображение s>—*-gs пред­

ставляет собой гомеоморфизм пространства S на себя. Мы будем

писать

также

g(s)

вместо

gs. Для любого s £ S

положим

Gs

=

=

{gs

I g € G)

и назовем это

множество

орбитой

точки

s

относи­

тельно

группы

G или

просто

G-орбитой

точки s. Часто

две

точки

с одной и той же G-орбитой называют G-эквивалентными или экви­

валентными

относительно

группы

G. Мы

говорим,

что

группа

G

действует транзитивно на пространстве S, если существует всего

лишь

одна

G-орбита

— все

пространство

S.

Обозначим через G\S множество всех G-орбит точек простран­

ства S. Пусть я: SG\S

— естественное

проектирование,

опре­

деленное равенством

n{s) =

Gs. Будем

называть

подмножество

X

в G\S открытым, если прообраз

открыт в S. Легко проверить,

что это определяет некоторую топологию

на G\S;

будем

называть

ее

фактортопологией.

Очевидно, в

этой

топологии

отображение

я

непрерывно. Кроме того, отображение я открыто *); действительно,

если Y — произвольное открытое подмножество			в S,	то множество
я _ 1 (я(У))	равно объединению	U g(Y), которое,	очевидно, открыто.
Следует	отметить, что факторпрострапство G\S		не	обязано быть
хаусдорфовым, даже если S хаусдорфово.
Пусть К — какая-либо замкнутая подгруппа в G. Рассмотрим
действие	группы К на группе	G посредством правого умножения.

В этой ситуации if-орбита произвольного элемента g из G есть в точ­ ности левый смежный класс gK. Введем на G/K фактортопологшо так, как это делалось выше. Замкнутость подгруппы К обеспечивает хаусдорфовость пространства GIK. Доказать это можно так: пусть

х ) То есть образ открытого множества является открытым . — Прим. ред.

16

ГЛ. 1. ФУКСОВЫ ГРУППЫ ПЕРВОГО

РОДА

аК

Ф- ЬК; определим непрерывное

отображение

/: G X G->- G

посредством

равенства f{x, у) =

х~ху;

тогда {a,

b) ($ f~\K);

посколь­

ку

множество

f~\K)

замкнуто,

существуют

открытые

множества

U

п V,

содержащие

а н Ъ соответственно и такие,

что

(U X V) (")

П / _ 1 ( ^ )

=

0;

но если h: G->- GIK — естественное проектирование,

то

это означает, что h{U)f\h{V)

=

0 ,

а это и требовалось доказать.

Пусть теперь G действует па GIK,

как обычно, подчиняясь пра­

вилу g-{хК)

=

gxK

для

g £G,

х

£ G.

Отображение (g, хК) к*- gxK

прямого

произведения

G X {GIK)

в

пространство

GIK,

очевидно,

непрерывно. Кроме того, это действие траизитнвио.

Пусть S — произвольное хаусдорфово пространство, на котором непрерывно и транзитивно действует группа G. Фиксируем какую-

лпбо точку t на S и положим К = {g £ G		| gt = t}.	Тогда К является
замкнутой подгруппой группы G и называется изотропной				подгруп­
пой группы G в точке t или	стабильной	группой	точки t х ) . Суще­
ствует естественное взаимно	однозначное	отображение X:		GIK-*- S,

определенное равенством X{gK) = gt. Для любого подмножества X

пространства S имеет место равенство Х~г{Х) — H{S 6 G \ gt	£Х}),
где h — проектирование (?-»- GIK. Приведенное соотношение	пока­
зывает, что множество Х~\Х) открыто, если открыто X. Таким обра­
зом, отображение X непрерывно. Вообще говоря, X не обязано	быть

гомеоморфизмом; однако можно доказать следующий критерий:

ТЕОРЕМА	1.1. Отображение X: G/K^>-S является		гомеоморфиз­
мом, если G и S локально		компактны и G обладает	счетной базой
открытых	множеств.
Д о к а з а т е л ь с т в о .		Пусть U — произвольное открытое мно­

жество в G и g £ U. Достаточно доказать, что gt — внутренняя точка множества Ut. Возьмем такую компактную окрестность V единицы группы G, чтобы выполнялись равенство V = V"1 и включение gV" с : U. Если множество Vt содержит хотя бы одну внутреннюю

точку	vt, v 6 V,	то, очевидно, gt	= gv~lvt	является внутренней		точ­
кой в	Ut. Но, согласно предположению,			G является	объединением
U gnV,	где {gn}	c f f — счетное	множество. Поэтому		S = [}	gnVt,
п					п

а множество Vt должно содержать внутреннюю точку на основании приводимой ниже леммы, и наша теорема доказана.

ЛЕММА	1.2.	Пусть	S — произвольное			{непустое)		локально	ком­
пактное	хаусдорфово		пространство		и	V l 5 . . .,	Vn,	. . . —	такая
								со
счетная система		замкнутых		подмножеств		в S, что S — U Vn.			Тогда
								71=1
по крайней мере одно из Vn				содержит	внутреннюю		точку.
Д о к а з а т е л ь с т в о .				Предполагая, что нн одно из множеств
Vn не содержит		внутренних		точек, получим противоречие. Возьмем

*) Часто К называют стационарной подгруппой точки t.— Прим. ред.

§ 1.1. ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ И ФАКТОРПРОСТРЛНСТВЛ

17

произвольное открытое множество Wi в S, замыкание Wi которого компактно. Определим последовательно непустые открытые под­

множества		W2,	Wz, • • • так, чтобы		выполнялись		включения
Wn+i	cz Wn	— Vn.	Тогда Wn	образуют	убывающую	последователь­
ность	непустых компактных			множеств,	а потому	f) Wn	ф 0. Но
						п

в этом и заключено противоречие, потому что указанное пересечение не имеет общих точек ни с одним из У„.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1.3.

Пусть

G — топологическая

группа,

дей­

ствующая

непрерывно

на

локально

компактном

хаусдорфовом

про­

странстве

S.

Тогда

факторпространство

G\S

компактно

в

том

и только

в том случае, когда

существует

такое компактное

подмно­

жество С в S,

что GC =

S.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть

я — естественное

отображение

пространства

S в G\S. Если GC — S,

то

справедливо равенство

я(С) = G\S,

откуда

следует

достаточность

указанного

условия.

Обратно,

покроем

пространство

S

системой

открытых

множеств

с компактными замыканиями и рассмотрим образы этих множеств

при отображении		я. Если факторпространство G\S компактно,
то из возникающего		покрытия можно выбрать конечное, т. е. G\S =
= U n(Ut),	где Ui	— открытые множества с компактными замыка­
ниями UI.	Но тогда S = G•([] Ui), к предложение доказано.

Пусть G — топологическая группа. Вообще говоря, подмножество М в G может иметь в самой группе G предельные точки даже тогда, когда оно дискретно в индуцированной топологии. Однако для подгрупп группы G имеет место следующий факт.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ

1.4.

Пусть

Г — произвольная

подгруппа груп­

пы G,

индуцированная

топология

на

которой локально

компактна.

Тогда

подгруппа

Г замкнута

в G.

В

частности,

если подгруппа

Г

дискретна,

то она замкнута

и не

имеет

в G предельных

точек.

Мы называем подгруппу Г дискретной

в G, если индуцированная

топология на Г дискретна.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Предположим, что подгруппа Г обла­

дает компактной

окрестностью

С

единицы

е. Пусть U — открытая

окрестность

единицы

е в самой

группе

G,

такая, что

U f] Г а

С,

ж х — какой-нибудь элемент замыкания группы Г. Мы можем найти

такую	окрестность	V точки х, для которой			У _ 1 У с		U.	Тогда
(У Г) Г ) - 1 (V[) Г)с= С.		Заметим, что	У|~| Г # 0,		и пусть		у — какой-
либо элемент из У П Г. Тогда У Г) Г с : уС. Далее, для каждой								окре­
стности	W элемента	х пересечение	W{]	V (] Г	непусто,		так	что х
принадлежит замыканию пересечения				У f) Г.	Так	как	множество
2 - 01118		Т — Г б с . ПУблйч				ля	т
		1 Н А У Ч . ; О - Т £ Л : . ; . Ч

18	ГЛ. 1. ФУКСОВЫ ГРУППЫ ПЕРВОГО РОДА

уС компактно, то х £ уС cz Г и, следовательно, подгруппа Г зам­ кнута. Последнее утверждение в формулировке предложения оче­ видно.

	ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1	.5. Пусть	G — локально	компактная		группа
и	К — компактная	подгруппа в G. Положим		S =	G/K, и	пусть
h:	G—>- S — естественное отображение. Тогда если А				— компактное
подмножество пространства			S, то компактно и множество			к'ЦА).
	Д о к а з а т е л ь с т в о .		Возьмем какое-либо открытое			покры­
тие группы G, элементы которого имеют компактные замыкания,

и рассмотрим образы этих элементов при h на факторпространстве S. Очевидно, справедливо включение A cz \J h(Vt), где участвует лишь

г

конечное число открытых множеств У,- с компактными замыканиями

F; из покрытия. Следовательно, h'1(A)

cz

(J ViK.

Заметим, что мно­

жества

VtK

компактны. Поэтому

и мпожество 1ъ~г(А),

являясь

зам­

кнутым

подмножеством компактного множества, компактно.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1.6. Пусть

G,

К,

S

и h те

же,

что и в

пред­

ложении

1.5, и

Г — некоторая

подгруппа

в G. Тогда

эквивалентны

следующие

утверждения:

( 1 )

подгруппа

Г

является

дискретной

в G;

( 2 ) для любых двух компактных подмножеств

А

и В факторпро-

странства S

множество { g

6 Г

| g(A)

(] В Ф 0}

конечно.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть

А

и

В — компактные

подмно­

жества в

S

и

С =

h-\A),

D

h-\B),

g £ Г. Если

g(A)

[}В

ф

0,

т о

g(C)[\D

Ф

0

и,

следовательно,

g

6 Tf](DC'1).

Согласно

пред­

ложению 1.5, множества С и D компактны; следовательно, ком­

пактно

и

DC'1. Если подгруппа Г дискретна, то пересечение

Г Г|

П

(DC'1)

одновременно дискретно и

компактно,

а потому

конечно.

Этим

установлена импликация ( 1 ) =ф ( 2 ) .

Докажем

обратное. Пусть

V — произвольная

компактная

окре­

стность единичного элемента е группы

G

н t =

h(e).

Тогда Г f) V

cz

с

{ g £ Г

\gt£h(V)}.

Рассматривая

множества

/

и h(V)

как

мно­

жества

А

и

В

из утверждения

(2)," мы убеждаемся,

что

Т []

V —

конечное

множество. Поэтому

подгруппа

Г дискретна.

До конца этого параграфа символы G, К, S, h будут иметь тот же смысл, что и в предложении 1 . 5, а Г будет обозначать какую-либо дискретную подгруппу группы G. Согласно утверждению ( 2 ) из предложения 1 . 6, множество {g £ Г I g(z) = z} конечно для любого z 6 S.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1.7.		Для	каждого элемента	z £ S	существует.
такая окрестность	U	точки ъ, что
{g б г	| g(u)	п и	Ф 0 } = {g е г | g(Z)	=	z).

§ l . i . ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИИ I I ФАКТОРПРОСТРАНСТВА

19

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть

V — компактная окрестность

точки

z.

Согласно

предложению

1.6,

{g 6 Г \g(V){]V=£=

0 }

—

конечное

множество,

скажем

{ g b

. . ., gr}.

Предположим,

что

gt(z) =

z,

если

1 ^

i ^

s, и gi(z)

Ф

z, если s <

i ^

г. Для

каждого

индекса

i > s

выберем

окрестность

F;

точки

z и

окрестность

Wl

точки gt(z) так, чтобы пересечение

У,- f| ТУ,-

было пустым, после

чего

положим

П ( Т ^ П ^ Т О ) } -

U

= V[\{

Тогда множество U будет обладать требуемым свойством.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ

1.8.

Если

две

точка

z

и

w пространства

S

не являются

Т-эквивалентными, то существуют

такая

окрестность

U

точки z

и такая

окрестность

V точки

и>, что

g(U)[\V

=

0

для любого элемента g 6 Г.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть X и Y — компактные

окрестно­

сти

точек z

и w

соответственно.

Согласно предложенпю 1.6, {g 6

6 Г

| g(X){]Y

Ф

0 }

— конечное

множество,

скажем

{ g b

. . .,

gr}.

Так как точки z и w не являются Г-эквнвалентными, то для каж­ дого индекса i имеет место неравенство g;(z) Ф w. Благодаря этому

мы дюжем найти такие окрестности Ut							точек gt{z) и такие окрестности
У; точки	w, что		Ui П Vt = 0 .		Положим
			и = х г и г Т О П . . .					n r J ( t f r ) ,
			V = Y[\Vl[\		. . .		(]Vr.
Тогда U и V обладают нужными свойствами.
Пусть	Г\5 — множество			всех Г-орбнт точек пространства S.
Предложение		1.8	означает, что		пространство T\S с фактортополо-
шей является		хаусдорфовым.		Далее,			мы	имеем очевидную комму­
тативную	диаграмму
			G	>S =		G/K
			I	I
			I	1
			T\G	>T\S		=	T\(G/K)

Легко видеть, что все отображения в этой диаграмме открыты и не­ прерывны.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ	1.9.	Факторпространство	T\G компактно
тогда и только	тогда,	когда компактно T\S.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Согласно предложению 1.3, если про­ странство r\iS компактно, то S = ТС при некотором компактном подмножестве С из S, так что G = Г-/г_ 1 (С). Согласно же предложе­ нию 1.5, множество /г- 1 (С) компактно; следовательно, в соответствии

2*