3.3. Статистическое моделирование при решении детерминированных задач

Метод статистических испытаний может быть использован как численный метод решения математических задач. Именно в таком качестве он был применен в США в 1944 г. Джоном фон Нейманом при расчетах по созданию ядерного реактора.

Применение метода рассмотрим на примере вычисления некоторого интеграла.

Пример 3.4. Пусть  ,  . Полагаем, что функция  такова, что интеграл относится к "неберущимся".

Требуется вычислить  .

Решение

Представим функцию в координатах  и   как показано на рис. 3.7. Как известно, численное значение интеграла данного вида равно площади  . Площадь   состоит из множества элементарных площадок - точек. Количество точек в этой площади и будет численным значением искомого интеграла.

Имитируем координаты каждой точки значениями  и  , принадлежащими равномерному распределению на участке  :

Рис. 3.7.  Вычисление интеграла

Рассмотрим пару чисел  . Вычислим   и сравним с  . Если  , то это означает, что точка   принадлежит площади  . Если  , то это означает, что точка   не принадлежит площади  .

Введем:

Число точек, попавших в границы   равно  , где  - общее число точек, попавших в единичную площадь существования функции и аргумента. Отсюда следует:

Чем больше будет элементарных площадей - точек, тем точнее будет вычислен интеграл. Приведенное решение примера справедливо для единичных областей существования функции и аргумента. Однако это несущественно, так как произвольные границы существования   заменой переменных можно свести к единичным границам.

Известны статистические алгоритмы численного решения многократных интегралов.

Пример 3.5. Найти оценку   интеграла  .

Решение

Область интегрирования ограничена линиями  , , , т. е. принадлежит единичному квадрату (рис. 3.8).

Рис. 3.8.  Иллюстрация к примеру 3.5

Площадь области интегрирования (прямоугольного треугольника)   . Используем формулу

в которой  - число случайных точек  , принадлежащих области интегрирования. У этих точек  . Если данное условие выполняется, то вычисляется

а число случайных точек  увеличивается на  :  .

Результаты моделирования приведены в табл. 3.2.

Из данных табл. 3.2 (верхние пять строк) видно, что с увеличением числа реализаций  ошибка  в определении оценки интеграла   уменьшается и при  становится равной нулю.

Таблица 3.2. Результаты моделирования примера 3.5
	10	1000	10000	100000	1000000
	5	500	5038	49658	500364
	4,773	487,695	5006,152	49533,242	500191,650
	0,477	0,488	0,497	0,499	0,500
	0,023	0,012	0,003	0,001	0
	6	503	4935	49833
	5,025	494,593	4917,236	49802,019
	0,419	0,492	0,498	0,500
	0,081	0,008	0,002	0

В четырех нижних строках табл. 3.2 приведены результаты моделирования с другими начальными числами генераторов равномерно распределенных случайных чисел. Как видно, ошибка в оценке интеграла равна нулю уже при   реализаций модели.

В заключение отметим, что имитационное (статистическое) моделирование целесообразно применять в случаях:

• когда нет законченной математической постановки задачи;

• когда нет аналитических методов решения сформулированной задачи;

• когда аналитические методы есть, но они не удовлетворяют требованиям точности и достоверности;

• когда аналитические методы есть, но их вычислительные процедуры сложны даже для компьютера;

• когда реализация известных процедур сталкивается с недостаточной математической подготовкой исследователя;

• когда исследователю нужно знать не только оценки искомых характеристик, но и динамику всего случайного процесса.