4.3. Стандартные планы

Многие планы экспериментов в настоящее время стандартизованы. Они имеются в справочниках, математических пакетах программ и системах моделирования. Однако исследователь должен быть готов к модификации имеющихся планов и приспособлению их к специфическим условиям конкретных задач.

С полным факторным экспериментом мы уже знакомы. Это, как отмечалось ранее, самый информативный план, понятный по структуре, но и самый неэкономичный. Поэтому ПФЭ применяют, когда число факторов невелико. В приведенном примере 4.1 при  ,  ,  ,   затраты времени на проведение компьютерного эксперимента ожидаются в 106 часов. Поэтому актуальной становится проблема более или менее обоснованного сокращения плана эксперимента (числа наблюдений). Способов сокращения плана и, следовательно, уменьшения затрат времени на проведение экспериментов, много, но все они, в конечном счете, основаны на пренебрежении эффектами парных, тройных и более взаимодействий факторов. Естественно, это снижает точность моделирования, но во многих случаях допустимо.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 4.2. Необходимо провести эксперимент с моделью, имеющей три двухуровневых фактора, с целью построения математической модели ("вторичной модели") процесса в виде:

Уравнение имеет восемь коэффициентов, следовательно, достаточно провести восемь наблюдений. Это уравнение соответствует

ПФЭ типа  .

Полный факторный эксперимент дает возможность определить не только коэффициенты  , соответствующие так называемым линейным эффектам (их также называют главными), но и коэффициенты  , соответствующие всем эффектам взаимодействия факторов, а также свободный член  .

Эффекты взаимодействия двух и более факторов проявляются, если влияние каждого из них на отклик зависит от уровней, на которых установлены другие факторы.

Теперь допустим, что число наблюдений в эксперименте, равное восьми, неприемлемо и план надо сократить.

Вполне естественно предположить, что эффекты взаимодействия оказывают на реакцию системы существенно меньшее влияние, чем линейные, или даже отсутствуют вовсе, если факторы обладают свойством независимости.

Исключим их и тогда модель процесса (уравнение отклика, уравнение реакции, "вторичная модель") принимает вид:

Теперь число неизвестных коэффициентов   сократилось вдвое и число необходимых наблюдений для их определения стало равно четырем.

Что это за наблюдения?

Четыре наблюдения достаточны для проведения ПФЭ при двух

факторной модели  . Этими факторами, например, могут быть   или другая двухфакторная комбинация из трех факторов.

Уровни третьего фактора   получают из первых двух с помощью, так называемого генерирующего соотношения:

Поскольку факторы двухуровневые, то в общем виде уровни принято обозначать так:

• верхний уровень: +1;

• нижний уровень: -1.

Новый, сокращенный план эксперимента называют полурепликой и обозначают   . План приведен в табл. 4.1.

Таблица 4.1. План ПФЭ 2^2
№		План ПФЭ			Отклик
1	1	-1	-1	+1
2	1	+1	-1	-1
3	1	-1	+1	-1
4	1	+1	+1	+1

Единичный столбец   обеспечивает вычисление свободного члена   в модели процесса.

Таким же образом можно проводить дальнейшее сокращение планов типа   , получая четверть реплики   и более мелкие реплики.

Естественно, такое сокращение числа экспериментов приводит к "огрублению" коэффициентов   . Следовательно, полученную модель процесса   нужно проверять на адекватность, используя для этого "сэкономленные" наблюдения.

Рассмотренное планирование является основой и составной частью для разработки более сложных - несимметричных многоуровневых планов.

Не менее часто целью экспериментов является проверка разного рода гипотез о природе сравниваемых объектов. Например, однородны ли выходы двух систем в смысле законов распределения, характеристик этих законов. Поскольку обработка данных эксперимента ведется методами дисперсионного анализа, то и планы в данном случае называются планами дисперсионного анализа. Сущность дисперсионного анализа мы рассмотрим в следующей теме.

Планы дисперсионного анализа могут быть полные, если используются все возможные сочетания условий (аналогично ПФЭ), и неполные, которые применяются тогда, когда полные планы оказываются громоздкими и неэкономичными. Сокращение планов происходит, как и ранее, за счет исключения некоторых сочетаний факторов (взаимодействий) и уровней случайным или традиционным образом.

Наиболее популярными из неполных планов является симметричный план "латинский квадрат" или его вариации. Этот план целесообразно применять, когда из всех существенных факторов можно выделить один доминирующий (самый существенный).

В планах дисперсионного анализа часто факторы обозначают латинскими буквами   а уровни - индексами при соответствующих факторах:   .

Пример 4.3. Построить план "латинский квадрат" симметричного трехфакторного четырехуровневого эксперимента. Доминирующий фактор  .

Решение

Исходные данные:  .

Введем обозначения факторов и уровней:

- уровни доминирующего фактора  ;

- уровни фактора  ;

- уровни фактора  .

План приведен в табл. 4.2.

Таблица 4.2. План "латинский квадрат"
Уровни	Уровни

В этом плане число наблюдений   . В полном плане их было бы   . Сокращение произошло за счет исключения некоторых комбинаций:  ,  и др.

Заметим, что план может быть и несимметричным. В этом случае вместо квадрата будет прямоугольник. И еще: выделение доминирующего фактора не является существенным, то есть, внутри квадрата можно располагать уровни любого из действующих факторов.

В практике планирования экспериментов встречаются и такие неполные планы: один из факторов меняет свои значения при фиксированных значениях других. То есть исследуется поочередно влияние каждого фактора в отдельности.

Иногда применяются и так называемые рандомизированные планы. В таких планах сочетания факторов и уровней для каждого прогона модели выбираются случайно. Вид случайности и объем выборки определяется исследователем.