5.3. Оценка характеристик случайных величин и процессов

Наиболее используемые оценки характеристик приведены в табл. 5.1.

Таблица 5.1. Характеристики случайных величин и их оценки
Характеристика	Оценка	Среднее квадратическое отклонение оценки
Матожидание
Дисперсия
Среднее квадратическое отклонение
Вероятность события
Коэффициент корреляции

Все оценки несмещенные, состоятельные, эффективные.

Проблемами оценок занимался и Абрагам Вайльд, американский математик австрийского происхождения.

Приведем для иллюстрации два примера.

Пример 5.1. Оценка матожидания случайной величины  - среднее арифметическое

является несмещенной, состоятельной и эффективной.

Оценка в виде медианы не является эффективной, так как дисперсия в этом случае

в   раз больше дисперсии  , равной, как известно, 

Пример 5.2. Выборочная дисперсия случайной величины 

состоятельна, эффективна, но смещена. Смещение образовалось из-за того, что вместо неизвестного   в формуле стоит оценка   .

Несмещенная оценка имеет вид:

Иногда формулы для вычисления оценок матожидания и дисперсии используют в рекуррентной форме:

где  - оценки матожидания и дисперсии, вычисленные по данным   и ( ) реализаций имитационной модели.

Приведенные в табл. 5.1 ,формулы соответствуют нормальному закону распределения вероятностей исследуемой величины.

При исследовании случайного процесса  весь временной интервал   представляется последовательностью из  временных точек  ,  , в каждой из которых измеряется значение сечения  . Индекс   - номер реализации случайного процесса,  .

Полученные данные образуют матрицу сечений размером  , что и является моделью исследуемого процесса (табл. 5.2).

Таблица 5.2. Результаты исследования случайного процесса
Реализации	Временные точки

Совокупность сечений в каждой временной точке  (столбец матрицы), представляет собой случайные числа некоторой случайной величины в общем случае со своими законами распределения, матожиданиями, дисперсиями:

При решении практических задач последовательности этих оценок матожиданий и дисперсий, определенных в точках  , достаточно полно представляют моделируемый случайный процесс. Оценки матожиданий   и дисперсий  можно аппроксимировать подходящими кривыми в предположении непрерывности процесса.

Иногда исследователя интересует связь сечений случайного процесса между собой. Степень зависимости между сечениями определяет автокорреляционная функция. Оценка ее имеет вид:

(t_s)])

где   и   - значения сечений в точках   и   соответственно  -й реализации;

 и   - оценки матожиданий совокупности сечений в точках   и   соответственно.

Данные расчета значений автокорреляционной функции  ,  ,   помещают в таблицу, которая и является табличным определением ее. В случае необходимости данные таблицы могут быть представлены подходящей аппроксимирующей кривой.

Пример таблицы значений   для случайного процесса,

определенного пятью сечениями  , показан в табл. 5.3.

Таблица 5.3. Значения автокорреляционной функции
	Временные точки

Очевидно, что рассчитывать все значения   для заполнения таблицы (в данном примере их 25) не надо, так как значения  при  ("северо-западная диагональ") представляют собой значения соответствующих дисперсий. И  , что исключает необходимость расчета половины оставшихся значений коэффициентов автокорреляционной функции, расположенных выше или ниже упомянутой диагонали.