- •Министерство образования и науки Российской Федерации
- •Введение
- •Перечень условных обозначений
- •1 Основные теоретические положения
- •1.1. Физические основы переходных процессов
- •1.2 Математический аппарат и алгоритмы расчетов
- •1.2.1 Классический метод анализа переходного процесса
- •1.2.2 Операторный метод расчета (метод преобразования Лапласа)
- •1.2.3 Расчет методом интеграла Дюамеля
- •1.2.4 Метод переменных состояния переходных процессов
- •2 Классический метод расчета переходных процессов в линейных электрических цепях
- •2.1 Примеры расчета переходных процессов в цепях с индуктивностью
- •Имеет один отрицательный и действительный корень
- •Решение
- •И подставим его в первое уравнение системы:
- •Источника напряжения
- •Получим характеристическое уравнение
- •Решение
- •Первый способ
- •Решение
- •Ом; Ом.
- •Решение
- •Решение
- •И падение напряжение на индуктивности
- •Решение
- •Поэтому в соответствии с первым законом Кирхгофа для узла “1” ток в индуктивности, питаемый источником тока равен току в ветви с резистором: а.
- •Откуда составляем характеристическое уравнение:
- •Где ток в конденсаторе.
- •Отсюда находим характеристическое уравнение:
- •С-1; с-1.
- •С-1; с-1.
- •Решение
- •Напряжение между узлами 1 и 2 определяется как:
- •И подставим туда ток конденсатора (2.6.6):
- •Откуда характеристическое уравнение оду будет иметь вид:
- •2.8 Задачи для самостоятельного решения
- •3 Операторный метод расчета переходных процессов в линейных электрических цепях
- •3.1 Примеры расчета переходных процессов в цепях постоянного тока
- •Решение
- •Решение
- •3.2 Примеры расчета переходных процессов в цепях переменного тока
- •С-1; с-1;
- •По закону Ома для участка цепи определяем искомый операторный ток:
- •С-1; с-1;
- •4 Расчет переходных процессов с помощью интеграла дюамеля
- •4.1 Примеры расчета переходных и импульсных характеристик
- •Тогда по закону Ома в операторной форме определяем ток
- •Решение
- •С-1; с-1;
- •4.2 Примеры расчета переходных процессов с помощью интеграла Дюамеля
- •Решение
- •4.3 Задачи для самостоятельного решения
- •5 Расчет переходных процессов методом переменных состояния
- •5.1 Примеры расчета
- •Определим собственные значения матрицы a, т.Е. Корни уравнения
- •. Определим собственные значения матрицы a, т.Е. Корни уравнения
- •5.2 Задачи для самостоятельного решения
- •Список литературы
- •Содержание
- •Часть II
- •190008, Г.С.-Петербург, ул. Лоцманская, 3.
Ом; Ом.
|
2) Схема до коммутации изображена на рис. 2.2.8.б. Используя символический метод, найдем комплексную амплитуду тока в индуктивности: А. Т.к. этот ток совпадает по фазе со входным напряжением, значит в этой цепи наблюдается резонанс напряжений По закону Ома определяем комплексное изображение напряжения на конденсаторе: В. Зная комплексные изображения тока в индуктивности и напряжения на конденсаторе запишем их мгновенные значения: А; В. 3) Схема после коммутации построена на рис. 2.2.8.в. Катушка индуктивности закорочена накоротко, поэтому ток В соответствии с законом Ома рассчитаем комплекс тока в конденсаторе и комплекс напряжения на емкости: |
Рис. 2.2.8.б | |
| |
Рис. 2.2.8.в |
А;
В.
Тогда мгновенное значение напряжения на конденсаторе
В.
4) Для расчета переходного процесса для схемы, приведенной на рис. 2.2.8.а, при замыкании ключа К в момент составим систему из двух уравнений: первое – по второму закону Кирхгофа для контуравторое – по второму закону Кирхгофа для контура
(2.2.2) | |
(2.2.3) |
где – ток в конденсаторе,
(2.2.4) |
Из этой системы уравнений видно, что в данной цепи образуются два независимых переходных процесса: первый – описывается уравнением (2.2.2) системы, а второй – (2.2.3).
Подставив ток (2.2.4) в (2.2.2) получаем НДУ первого порядка:
Приравняв его правую часть к нулю, получим ОДУ
Тогда характеристическое уравнение имеет вид:
Его корень
с-1
получается единственным, отрицательным и вещественным, в силу чего общее решение НДУ будет иметь вид:
Постоянную интегрирования определим, используя начальные условия:
где напряжение на емкости в момент замыкания ключа К, которое на основании второго закона коммутации должно быть равно напряжению до коммутации
Следовательно,
Итак, напряжение на конденсаторе определяется выражением:
В.
Из уравнения (2.2.3) сразу можно записать ОДУ первого порядка:
Откуда определяем характеристическое уравнение
Постоянную интегрирования А определим из начальных условий. Для этого запишем последнее уравнение при
где ток в момент коммутации по первому закону коммутации равен току до коммутации
А, откуда Следовательно, переходной ток в катушке определяется выражением: А. По приведенным выражениям на рис. 2.2.8.г и 2.2.8.д построены графики тока и напряжения | |
Рис. 2.2.8.г | |
Рис. 2.2.8.д |
Задача 2.2.9В моментключ К в цепи, изображенной на рис. 2.2.9.а, замыкает накоротко конденсатор. Найти напряжение на конденсатореи ток в индуктивностии построить их графики для интервалов времени, охватывающих один период до и два периода после коммутации, если:В,рад/с,Ом,мГн,мкФ.
|
|
|
Рис. 2.2.9.а |
Рис.2.2.9.б |
Рис.2.2.9.в |
Решение
1) Рассчитаем реактивные сопротивления элементов:
Ом;
Ом.
2) Схема до коммутации изображена на рис. 2.2.9.б. Используя символический метод, найдем комплексную амплитуду тока в индуктивности:
А.
Этот ток совпадает по фазе со входным напряжением, т.е. в этой цепи наблюдается резонанс напряжений
По закону Ома определяем комплексное изображение напряжения на конденсаторе:
В.
Зная комплексные изображения тока в индуктивности и напряжения на конденсаторе запишем их мгновенные значения:
А;
В.
3) Схема после коммутации приведена на рис. 2.2.9.в. Конденсатор в установившемся режиме закорочен накоротко, т.е. он разряжен, поэтому напряжение
В соответствии с законом Ома определим комплекс тока в индуктивности:
А;
Тогда мгновенное значение тока в катушке индуктивности
А.
4) Для расчета переходного процесса для схемы, представленной на рис. 2.2.9.а, при замыкании ключа К в момент составим систему из двух уравнений: первое – по второму закону Кирхгофа для контуравторое – по второму закону Кирхгофа для контура
(2.2.5) | |
(2.2.6) |
где ток в конденсаторе,
(2.2.7) |
Из этой системы уравнений видно, что в данной цепи образуются два независимых переходных процесса: первый – описывается уравнением (2.2.5) системы, а второй – (2.2.6).
Подставив ток (2.2.7) в (2.2.5) получаем НДУ первого порядка:
Запишем для последнего уравнения ОДУ:
Тогда характеристическое уравнение имеет вид:
Его корень
с-1
получается единственным, отрицательным и вещественным, в силу чего общее решение НДУ будет иметь вид:
Постоянную интегрирования определим, используя начальные условия. Для этого запишем последнее выражение при
где напряжение на емкости в момент замыкания ключа К, которое на основании второго закона коммутации должно быть равно напряжению до коммутации
Следовательно,
Итак, напряжение на конденсаторе определяется выражением:
В.
Из уравнения (2.2.6) составим ОДУ первого порядка:
откуда определяем характеристическое уравнение
Найдем корень характеристического уравнения:
с-1.
Так как корень получается отрицательным и действительным, то общее решение НДУ будет иметь вид:
Постоянную интегрирования А определим из начальных условий. Для этого запишем последнее уравнение при
где ток в момент коммутации по первому закону коммутации равен току до коммутации
А,
откуда
Следовательно, переходной ток в катушке определяется выражением:
А.
По приведенным выше соотношениям на рис. 2.2.9.г и 2.2.9.д построены графики тока и напряжения
|
Рис. 2.2.9.г |
|
Рис. 2.2.9.д |
2.3 Примеры расчета переходных процессов в цепях второго порядка
Задача 2.3.1Определить значение токав цепи, представленной на рис. 2.3.1.а, в момент замыкания ключа К и в установившемся режиме, еслиВ,Ом.
|
| |
Рис. 2.3.1.а |
рис. 2.3.1.б | |
|
Решение 1) В цепи до коммутации отсутствует источник ЭДС, поэтому в соответствии с законами коммутации имеем следующие независимые начальные условия: 2) Схема замещения цепи в момент коммутации | |
рис. 2.3.1.в |
с учетом нулевых начальных условий вычерчена на рис. 2.3.1.б. Поэтому по закону Ома ток во входной цепи
А.
3) В установившемся состоянии цепь изображена на рис. 2.3.1.в. Падение напряжения от действия постоянного тока на индуктивном элементе равно нулюпоэтому катушка шунтирует вторую ветвь с конденсатором и цепь представляет из себя замкнутый контурСледовательно, ток в этом контуре на основании закона Ома определиться как:
А.
Задача 2.3.2В цепи, изображенной на рис. 4.3.2.а, определить токи напряжение на индуктивностив момент замыкания ключа К (когда), а также токи напряжение на емкостив установившемся режиме, еслиВ,Ом,Ом,Ом.
|
|
Рис. 2.3.2.а |
рис. 2.3.2.б |