С-1; с-1;

Тогда по теореме разложения определяем оригинал выходного напряжения

Так как на входе цепи действует напряжение амплитудой в 1 В, то переходная функция по выходному напряжению совпадает с этим напряжением:

4.2 Примеры расчета переходных процессов с помощью интеграла Дюамеля

Задача 4.2.1 На рис. 4.1.1.а показана схема простейшейцепи со сопротивлением резистораОм и индуктивностьюмГн. В момент временина вход схемы подается напряжениеЭто напряжение описывается выражением видагде амплитудаВ,мс – постоянная времени приложенного напряжения. Найти законы изменения токаи напряженияИзобразить графически напряженияи ток

	Решение График напряжения построен на рис. 4.2.1.а. Так как на данную цепь воздействует напряжение произвольной формы, в данном случае – экспоненциальной, то для расчета токацелесообразно воспользоваться интегралом Дюамеля: (4.2.1) где – начальное значение
Рис. 4.2.1.а

приложенного напряжения, В;– переходная проводимость исходной цепи, выражение для которой было определено в задаче 4.1.1:

(4.2.2)

– постоянная временицепи,с;–переменная, по которой производиться интегрирование.

Для вычисление производной сначала сделаем подстановку в закон изменения входного напряженияпеременнойвместо времени

Тогда имеем:

Переходная проводимость определим путем замены в формуле (4.2.2)на

Тогда интеграл Дюамеля (4.2.1) с учетом приведенных выше соотношений приобретает вид:

(4.2.3)

Вычислим два определенных интеграла, стоящих в фигурных скобках формулы (4.2.3):

Подставим в формулу (4.2.3) найденные интегралы и раскроем скобки:

Таким образом ток в цепи

А.

Зная ток определим напряжение

	В. По закону Ома найдем падение напряжения на резисторе – Проверим правильность расчета путем подстановки полученных выражений во второй закон Кирхгофа: Второй закон Кирхгофа
Рис. 4.2.1.б

выполняется, значит расчет выполнен верно. На рис. 4.2.1.б изображены требуемые кривые.

Задача 4.2.2 Нацепь, схема которой изображена на рис. 4.1.2.а, воздействует напряжениеЗакон изменения входного напряжения взять из задачи 4.2.2. Заданы следующие параметры цепи:Ом,мкФ. Найти и изобразить графически напряжение на конденсатореи ток в цепиПредполагается, что входное напряжение подается на вход цепи начиная с времени

Решение

Напряжения на конденсаторе рассчитаем с помощью интеграла Дюамеля:

(4.2.4)

где В;– переходная проводимость исходной цепи, выражение для которой было определено в задаче 4.1.2:

(4.2.5)

– постоянная временицепи,с; производнаявзята из решения задачи 4.2.2.

Переходная проводимость определим путем замены в формуле (4.2.5)на

Делая подстановку в формулу (4.2.4) приведенных здесь соотношений получаем:

(4.2.6)

Два определенных интеграла, стоящих в фигурных скобках формулы (4.2.6) были вычислены в задачи 4.2.1. Тогда формула (4.2.6) приобретает более упрощенный вид:

Итак, закон изменения напряжения на конденсаторе имеет следующий вид:

В.

Ток в цепи определим через напряжение между обкладками конденсатора:

По закону Ома найдем падение напряжения на резисторе –

В.

Проверим правильность расчета путем подстановки полученных выражений во второй закон Кирхгофа:

Второй закон Кирхгофа удовлетворяется, следовательно, расчет выполнен правильно.

Графики полученных временных функции приведены на рис. 4.2.2.

Рис. 4.2.2