- •Министерство образования и науки Российской Федерации
- •Введение
- •Перечень условных обозначений
- •1 Основные теоретические положения
- •1.1. Физические основы переходных процессов
- •1.2 Математический аппарат и алгоритмы расчетов
- •1.2.1 Классический метод анализа переходного процесса
- •1.2.2 Операторный метод расчета (метод преобразования Лапласа)
- •1.2.3 Расчет методом интеграла Дюамеля
- •1.2.4 Метод переменных состояния переходных процессов
- •2 Классический метод расчета переходных процессов в линейных электрических цепях
- •2.1 Примеры расчета переходных процессов в цепях с индуктивностью
- •Имеет один отрицательный и действительный корень
- •Решение
- •И подставим его в первое уравнение системы:
- •Источника напряжения
- •Получим характеристическое уравнение
- •Решение
- •Первый способ
- •Решение
- •Ом; Ом.
- •Решение
- •Решение
- •И падение напряжение на индуктивности
- •Решение
- •Поэтому в соответствии с первым законом Кирхгофа для узла “1” ток в индуктивности, питаемый источником тока равен току в ветви с резистором: а.
- •Откуда составляем характеристическое уравнение:
- •Где ток в конденсаторе.
- •Отсюда находим характеристическое уравнение:
- •С-1; с-1.
- •С-1; с-1.
- •Решение
- •Напряжение между узлами 1 и 2 определяется как:
- •И подставим туда ток конденсатора (2.6.6):
- •Откуда характеристическое уравнение оду будет иметь вид:
- •2.8 Задачи для самостоятельного решения
- •3 Операторный метод расчета переходных процессов в линейных электрических цепях
- •3.1 Примеры расчета переходных процессов в цепях постоянного тока
- •Решение
- •Решение
- •3.2 Примеры расчета переходных процессов в цепях переменного тока
- •С-1; с-1;
- •По закону Ома для участка цепи определяем искомый операторный ток:
- •С-1; с-1;
- •4 Расчет переходных процессов с помощью интеграла дюамеля
- •4.1 Примеры расчета переходных и импульсных характеристик
- •Тогда по закону Ома в операторной форме определяем ток
- •Решение
- •С-1; с-1;
- •4.2 Примеры расчета переходных процессов с помощью интеграла Дюамеля
- •Решение
- •4.3 Задачи для самостоятельного решения
- •5 Расчет переходных процессов методом переменных состояния
- •5.1 Примеры расчета
- •Определим собственные значения матрицы a, т.Е. Корни уравнения
- •. Определим собственные значения матрицы a, т.Е. Корни уравнения
- •5.2 Задачи для самостоятельного решения
- •Список литературы
- •Содержание
- •Часть II
- •190008, Г.С.-Петербург, ул. Лоцманская, 3.
Определим собственные значения матрицы a, т.Е. Корни уравнения
откуда получаем:
Матричная экспонента в системе второго порядка имеет вид:
либо в обычной системой алгебраических уравнений:
Тогда отсюда определяем коэффициенты и
Далее по выражению определяем матричную экспоненту
Затем определяем матрицу-столбец начальных значений переменных состояния:
где iL(0) иuC(0) – независимые начальные условия, определяемые до режима коммутации. Найденные величины подставляем в уравнениеи получаем:
Из приведенного выражения определяем ток в катушке и напряжение на конденсаторе
Задача 5.1.3В электрической цепи, представленной на рис. 5.1.3.a, в моментпроисходит замыкание ключа К. Определить ток в катушкеи напряжение на конденсатореметодом переменных состояния, если: В,Ом,Ом,Ом, мкФ, Гн.
|
Решение Проведем расчет схемы до коммутации : Тогда запишем независимые начальные условия для данной цепи: |
Рис. 5.1.3.а |
В качестве переменных состояния выберем вектор .
Для схемы после коммутации покажем направленный топологический граф (рис. 5.1.3.б) и запишем для него уравнения по законам Кирхгофа:
|
Выражая все токи и напряжения через ток катушки и напряжение на конденсаторе, получим систему уравнений, записанную относительно переменных состояния: |
Рис. 5.1.3.б |
Для упрощения, перепишем данную систему уравнений, заменив громоздкие выражения числовыми значениями:
или в матричной форме: ,
где
. Определим собственные значения матрицы a, т.Е. Корни уравнения
откуда получаем:
Полученные значения совпали с корнями характеристического уравнения задачи 2.3.13.
Как и в предыдущих задачах определяем коэффициенты из уравнений:
откуда
Далее по выражению определяем матричную экспоненту:
Запишем матрицу-столбец начальных значений переменных состояния:
где iL(0) иuC(0) – независимые начальные условия, которые были определены в начале решения задачи. Найденные величины подставляем в уравнениеи получаем:
Из приведенного выражения определяем ток в катушкеи напряжение на конденсаторе
5.2 Задачи для самостоятельного решения
|
Задача 5.2.1На рис. 5.2.1 изображена цепь постоянного тока, запитанная источником токаА. В начальный момент времени замыкается ключ К. Найти ток в катушке индуктивностии напряжение на конденсаторе, при следующих параметрах цепи:Ом,Ом,Гн,мкФ. |
Рис. 5.2.1 | |
|
Задача 5.2.2 В цепи, представленной на рис. 5.2.2 в момент временипроисходит коммутация – размыкание ключа К. Найти токеслиВ,Ом,Ом,Ом,мГн,мкФ. |
Рис. 5.2.2 | |
|
Задача 5.2.3На рис. 5.2.3 изображена электрическая цепь с двумя источниками ЭДСВ иВ. В начальный момент времениключ К включает в цепь резисторНайти токи напряжение, при следующих параметрах цепи:Ом,Ом,мГн,мкФ. |
Рис. 5.2.3 |
Задача 5.2.4Решить задачу 2.6.2 методом переменных состояния.
Задача 5.2.5 Решить задачу 3.3.3 методом переменных состояния.
Список литературы
1. Основы теории цепей: Учебник для вузов Зевеке Г.В., Ионкин П.А., Нетушин А.В., С.В.Страхов.- 5-е изд., перераб.- М.: Энергоатомиздат, 1989. – 528 с.: ил.
2. Шебес М.Р.Каблукова М.В. Задачник по теории линейных электрических цепей : Учеб. Пособ. Для электротехнич., радиотехничю спец. вузов. – 4-е изд.. перераб. и доп. – М.: Высш. шк., 1990. – 544 с.: ил.
3. Черевко А.И. Линейные электрические цепи. Л.: ЛКИ, 1989, ч.1, 53 с.
4.Теоретические основы электротехники: В 3-х т. Учебник для вузов. Том 1. – 4-е изд. /С.С. Демирчян, Л.Р. Нейман, Н.В. Коровкин, В.Л. Чечурин. - СПб.:Питер, 2004. – 463 с.: ил.
5. Коровкин Н.В., Селина Е.Е., Чечурин В.Л. Теоретические основы электротехники: Сборник Задач. - СПб.:Питер, 2004. – 512 с.: ил. – (Серия «Учебное пособие»).
6. Беневоленский С.Б., Марченко А.Л. Основы электроники. Учебное пособие для втузов . – М.: Издательство Физико-математической литературы, 2007. – 568 с.: ил.
7. Сборник задач по теоретическим основам электротехники: Теоретические основы электротехники: Учебное пособие для энерг. И приборостр. Спец. Вузов. – 4-е изд., перераб. и испр. / Л.А. Бессонов, И.Г. Демидова, М.Е. Заруди и др.; Под ред. Л.А. Бессонова. – М.: Высш. шк., 2003. – 528 с.: ил.