- •Министерство образования и науки Российской Федерации
- •Введение
- •Перечень условных обозначений
- •1 Основные теоретические положения
- •1.1. Физические основы переходных процессов
- •1.2 Математический аппарат и алгоритмы расчетов
- •1.2.1 Классический метод анализа переходного процесса
- •1.2.2 Операторный метод расчета (метод преобразования Лапласа)
- •1.2.3 Расчет методом интеграла Дюамеля
- •1.2.4 Метод переменных состояния переходных процессов
- •2 Классический метод расчета переходных процессов в линейных электрических цепях
- •2.1 Примеры расчета переходных процессов в цепях с индуктивностью
- •Имеет один отрицательный и действительный корень
- •Решение
- •И подставим его в первое уравнение системы:
- •Источника напряжения
- •Получим характеристическое уравнение
- •Решение
- •Первый способ
- •Решение
- •Ом; Ом.
- •Решение
- •Решение
- •И падение напряжение на индуктивности
- •Решение
- •Поэтому в соответствии с первым законом Кирхгофа для узла “1” ток в индуктивности, питаемый источником тока равен току в ветви с резистором: а.
- •Откуда составляем характеристическое уравнение:
- •Где ток в конденсаторе.
- •Отсюда находим характеристическое уравнение:
- •С-1; с-1.
- •С-1; с-1.
- •Решение
- •Напряжение между узлами 1 и 2 определяется как:
- •И подставим туда ток конденсатора (2.6.6):
- •Откуда характеристическое уравнение оду будет иметь вид:
- •2.8 Задачи для самостоятельного решения
- •3 Операторный метод расчета переходных процессов в линейных электрических цепях
- •3.1 Примеры расчета переходных процессов в цепях постоянного тока
- •Решение
- •Решение
- •3.2 Примеры расчета переходных процессов в цепях переменного тока
- •С-1; с-1;
- •По закону Ома для участка цепи определяем искомый операторный ток:
- •С-1; с-1;
- •4 Расчет переходных процессов с помощью интеграла дюамеля
- •4.1 Примеры расчета переходных и импульсных характеристик
- •Тогда по закону Ома в операторной форме определяем ток
- •Решение
- •С-1; с-1;
- •4.2 Примеры расчета переходных процессов с помощью интеграла Дюамеля
- •Решение
- •4.3 Задачи для самостоятельного решения
- •5 Расчет переходных процессов методом переменных состояния
- •5.1 Примеры расчета
- •Определим собственные значения матрицы a, т.Е. Корни уравнения
- •. Определим собственные значения матрицы a, т.Е. Корни уравнения
- •5.2 Задачи для самостоятельного решения
- •Список литературы
- •Содержание
- •Часть II
- •190008, Г.С.-Петербург, ул. Лоцманская, 3.
4.3 Задачи для самостоятельного решения
Задача 4.3.1 Определить переходные и импульсные характеристики цепей, схемы которых изображены на рис. 4.3.1.а – 4.3.1.г Входным воздействием является напряжениеа реакцией – выходное напряжениев режиме холостого хода.
|
|
Рис. 4.3.1.а |
Рис. 4.3.1.б |
|
|
Рис. 4.3.1.в |
Рис. 4.3.1.г |
Задача 4.3.2 На простейшую последовательнуюцепь, схема которой показана на рис. 4.1.1.а, в момент времениподается напряжение. Найти и посторить закон изменения токаи напряженияесли: а) входное напряжение изменяется по закону, показанному на рис. 4.3.2.а; б) входное напряжение изменятся по закону, представленному на рис. 4.3.2.б.
|
|
Рис. 4.3.2.а |
Рис. 4.3.2.б |
Задача 4.3.3 На простейшую последовательнуюцепь, схема которой показана на рис. 4.1.2.а, в момент времениподается напряжение. Найти и построить закон изменения токаи напряженияесли: а) входное напряжение изменяется по закону, показанному на рис. 4.3.3.а; б) входное напряжение изменятся по закону, представленному на рис. 4.3.3.б.
|
|
Рис. 4.3.3.а |
Рис. 4.3.3.б |
5 Расчет переходных процессов методом переменных состояния
5.1 Примеры расчета
Задача 5.1.1 В электрической цепи, представленной на рис. 5.1.1.a, происходит замыкание ключа К. Определить ток в катушке и напряжение на конденсаторе методом переменных состояния, если:R1= 100 Ом,R3= 100 Ом,R4= 300 Ом,L= 0,01 Гн,С= 10 мкФ,E= 200 В. Построить их графики.
Решение Проведем расчет схемы до коммутации : Независимые начальные условия для данной цепи следующие:
| |
Рис. 5.1.1.а |
После коммутации для данной схемы покажем направленный топологический граф (показан на рис. 5.1.1.б) и запишем для него уравнения по законам Кирхгофа.
Так как и, заменим уравнения по законам Кирхгофа уравнениями, составленными относительно переменных состоянияiL(t)иuC(t).
| ||
Рис. 5.1.2 | ||
(5.1.1) |
или в матричной форме
,
где
Решение уравнения (5.1.1) можно представить в виде
(5.1.2) |
где eAt– матричная экспоненциальная функция;Ф(t) – матричная функция цепи. После дифференцирования получим
Определив матричную функцию как
где – переменная интегрирования, и подставив это выражение в уравнение (5.1.2), получим решение для переменных состояния в виде
(5.1.3) |
Для вычисления матричной экспоненциальной функции eAtсуществует несколько путей, например, её представление бесконечным рядом
Однако для уравнений порядка меньше трех можно применять более простые способы. Один из таких способов заключается в следующем. Вначале определяются собственные значения матрицы A, т.е. корни уравнения
где I– единичная матрица порядкаn.
Для заданной схемы собственные значения матрицыAбудут определяться следующим образом:
откуда получаем 1= –2703,93 и2= –8629,4. Собственные значениясовпадают с корнями характеристического уравнения цепи.
Матричная экспонента представляется конечным числом nслагаемых
(5.1.4) |
где k– функция времени, определяемая из системыnалгебраических уравнений, для рассматриваемого примера эта система примет вид:
откуда определяем коэффициенты 0и1
Далее по выражению (5.1.4) определяем матричную экспоненту:
Затем определяем матрицу-столбец начальных значений переменных состояния:
где iL(0) иuC(0) – независимые начальные условия, определяемые до режима коммутации. Найденные величины подставляем в уравнение (5.1.3) и получаем:
Из приведенного выражения определяем ток в катушке и напряжение на конденсаторе
Задача 5.1.2В электрической цепи, представленной на рис. 5.1.2.a, происходит замыкание ключа К. Определить ток в катушке и напряжение на конденсаторе методом переменных состояния, если: В, А,Ом, мкФ, Гн.
|
Решение Проведем расчет схемы до коммутации : Тогда на основании законов коммутации получаем следующие независимые начальные условия: |
Рис. 5.1.2.а |
В качестве переменных состояния выберем вектор .
Для схемы после коммутации составим уравнения по законам Кирхгофа:
Так как и, выразим все остальные напряжения и токи через ток катушкии напряжение на конденсаторе:
Заменим уравнения по законам Кирхгофа уравнениями, составленными относительно переменных состояния и
или в матричной форме:
где