Получим характеристическое уравнение

которое имеет один отрицательный, вещественный корень

с^-1.

Поэтому решение приведенного НДУ имеет вид:

Постоянную интегрирования найдем используя начальные условия:

где ток в момент замыкания ключа К, который по первому закону коммутации равен току в цепи до коммутации:

Тогда

Таким образом, переходной ток в индуктивности

А.

График тока приведен на рис. 2.1.7.г.

Рис. 2.1.7.г

2.2 Примеры расчета переходных процессов в цепях с емкостью

Задача 2.2.1Источник тока создает в цепи, представленной на рис. 2.2.1.а токА. В момент времениключ К шунтирует резистор с сопротивлениемОм. Определить токв этот момент времени.

	Решение 1) На рис. 2.2.1.б приведена схема до коммутации . Т.к. постоянный ток через конденсатор не течетследовательно в соответствии с первым законом Кирхгофа ток А. По закону Ома определим напряжение на емкости В. 2) В момент коммутации, т.е. при цепь имеет вид, как показано на рис. 2.2.1.в. По второму закону коммутации напряжение на конденсаторе сохраняет свое значение: 200 В. Для определения тока в момент коммутации составим систему из двух уравнений: одно по первому закону Кирхгофа для узла “1”, второе по второму закону Кирхгофа для контура, не содержащего источника тока: Из первого уравнения системы выразим ток : и подставим во второе уравнение: откуда искомый ток А, т.е. его истинное направление противоположно выбранному.
Рис. 2.2.1.а
Рис. 2.2.1.б
Рис. 2.2.1.в

Задача 2.2.2 На рис. 2.2.2.а представлена простейшаяцепь с параметрами:Ом,мкФ. В моментв цепи происходит коммутация – замыкание ключа К, в результате чего в цепь подключается источник постоянного напряженияВ. Найти законы изменения в функции времени следующих физических величин: напряжения между обкладками конденсаторатока в конденсатореи падения напряжения на резисторе

	Решение 1) До коммутации цепь отключена от постоянного напряжения, поэтому конденсатор не заряжен. Тогдаи 2) Схема после коммутации изображена на рис. 2.2.в. Эта цепь постоянного токапоэтому сопротивление конденсатора
Рис. 2.2.а

	Это значит, что конденсатор разрывает цепь протекания тока и поэтому Тогда из уравнения, составленного по второму закону Кирхгофа
Рис. 2.2.б

ввиду равенства нулю слагаемого следует, что напряжение между обкладками конденсатора уравновешивается постоянным напряжением:

То есть конденсатор в установившемся режиме работы цепи после коммутации заряжен до напряжения источника

3) С целью расчета переходного процесса для схемы, изображенной на рис. 2.2.а, в момент коммутации при замкнутом ключе К составляем исходное уравнение по второму закону Кирхгофа:

Решим это уравнение относительно напряжения Для этого воспользуемся формулой, связывающую мгновенные значения тока и напряжения конденсатора:

Тогда исходное уравнение можно записать иначе:

(2.2.1)

Последнее уравнение является НДУ первого порядка, разрешенного относительно напряжения Приравняв правую часть НДУ (2.2.1) к нулюполучим ОДУ первого порядка:

Из ОДУ составим характеристическое уравнение с помощью известных правил математики (заменив производную переменнойи неизвестную величинуединицей):

Отсюда находим корень характеристического уравнения:

с^-1.

Характеристическое уравнение имеет один вещественный и отрицательный корень, поэтому в цепи будет наблюдаться апериодический переходной процесс первого порядка.

Общее решение НДУ (2.2.1) для напряжения представим как принужденного напряжения

Здесь – принужденная составляющая напряжения (это частное решение НДУ), определенная в пункте 2,

В;

– свободная составляющая (это общее решение ОДУ), выражение для которой при одном отрицательном и вещественном корне характеристического уравнения представляется в виде:

Тогда окончательно запишем общее решение НДУ (2.2.1):

Для нахождения постоянной интегрирования подставим в последнее выражение время

где – напряжение на конденсаторе в момент замыкания ключа К, которое в соответствии со вторым законом коммутации в момент начала переходного процесса не должно измениться скачком и поэтому должно быть равно напряжению при

Тогда имеем:

откуда

Таким образом, закон изменения напряжения на конденсаторе в функции времени имеет вид:

В.

Рассчитаем с помощью приведенного выше соотношения ток в цепи:

А.

По закону Ома определяем падение напряжения на резисторе

В.

Задача 2.2.2Конденсатор с утечкой, параметры которогомкФ,кОм в моментпри размыкании ключа К отключается от источника постоянного напряженияВ. Определить напряжение на конденсаторе черезмс после выключения в схеме, изображенной на рис. 4.2.2.а. Внутренним сопротивлением источника напряженияпренебречь.

Рис. 2.2.2.а	Рис. 2.2.2.б	Рис.2.2.2.в

1) Цепь, соответствующая установившемуся режиму работу цепи до коммутации приведена на рис. 2.2.2.б. Конденсатор полностью заряжен до напряжения источника питания:

В.

2) Послекоммутационная схема дана на рис. 4.2.2.в. В установившемся режиме конденсатор полностью разрядиться через резисторпоэтому напряжение емкостном элементе

3) Для расчета переходного процесса в схеме, представленной на рис. 22.2.а, в момент коммутации при замыкании ключа К составим уравнение по второму закону Кирхгофа для замкнутогоконтура:

Т.к. ток в конденсаторе то последнее уравнение примет следующий вид:

Это уравнение является НДУ первого порядка, которое в силу равенства нулю правой части совпадает с ОДУ

Характеристическое уравнение

имеет один отрицательный действительный корень

с^-1.

Поэтому общее решение НДУ представиться в виде:

Постоянную интегрирования определим, используя начальные условия. Для этого запишем последнее выражение при

Учтем, что в соответствии со вторым законом коммутации напряжение на конденсаторе не может изменяться скачком, поэтому

Тогда

Итак, напряжение на конденсаторе

В.

4) Определим напряжение на конденсаторе через мс после выключения путем подстановки в последние выражениес:

В.

Задача 2.2.3Цепь, представленная на рис. 2.2.3.а, в моментпри размыкании ключа К включается под действие источника постоянного токаА. Определить напряжение на конденсаторе в функции времени и построить его график, еслиОм,Ом,мкФ.

	Решение 1) До коммутации конденсатор был разряжен, поэтому напряжение 2) Схема после коммутации приведена на рис. 2.2.3.б. Так как в установившемся режиме ( частота) конденсатор разрывает цепь протекания тока, то ток источникапротекает в ветви с резисторомСледовательно, напряжение на конденсаторе равно падению напряжения от источника тока на резисторе В. 3) Для расчета переходного процесса в послекоммутационной схеме составим для
Рис. 2.2.3.а
Рис. 2.2.3.б

контура, не содержащего источника тока:

где ток в конденсаторе.

Решим ее относительно напряжения способом подстановки. Для этого из второго уравнения системы выразим ток во второй ветви

и подставим его, а также ток в первое уравнение исходной системы:

После простых преобразований получим искомое НДУ первого порядка:

Приравняв правую часть этого уравнения к нулю: т.е. освободив цепь от действия вынуждающей силы в виде источника тока, получим ОДУ первого порядка:

Характеристическое уравнение имеет вид:

Его корень

с^-1.

получается единственным, вещественным и отрицательным, в силу чего общее решение НДУ примет следующий вид:

В.

Постоянную интегрирования определим, используя начальные условия:

	где напряжение на конденсаторе в начальный момент времени, которое по второму закону коммутации равно напряжению призначит Таким образом, напряжение на конденсаторе определяется выражением: В. График напряжения построен на рис. 4.2.3.в.
Рис. 2.2.4.в

Задача 2.2.4Цепь, представленная на рис. 2.2.4.а, в моментзамыкается ключом К к источнику постоянной ЭДСВ. Найти все токи и напряжениена емкости. Параметры цепи:Ом,Ом,пФ.

Рис. 2.2.4.а	Рис. 2.2.4.б