- •Министерство образования и науки Российской Федерации
- •Введение
- •Перечень условных обозначений
- •1 Основные теоретические положения
- •1.1. Физические основы переходных процессов
- •1.2 Математический аппарат и алгоритмы расчетов
- •1.2.1 Классический метод анализа переходного процесса
- •1.2.2 Операторный метод расчета (метод преобразования Лапласа)
- •1.2.3 Расчет методом интеграла Дюамеля
- •1.2.4 Метод переменных состояния переходных процессов
- •2 Классический метод расчета переходных процессов в линейных электрических цепях
- •2.1 Примеры расчета переходных процессов в цепях с индуктивностью
- •Имеет один отрицательный и действительный корень
- •Решение
- •И подставим его в первое уравнение системы:
- •Источника напряжения
- •Получим характеристическое уравнение
- •Решение
- •Первый способ
- •Решение
- •Ом; Ом.
- •Решение
- •Решение
- •И падение напряжение на индуктивности
- •Решение
- •Поэтому в соответствии с первым законом Кирхгофа для узла “1” ток в индуктивности, питаемый источником тока равен току в ветви с резистором: а.
- •Откуда составляем характеристическое уравнение:
- •Где ток в конденсаторе.
- •Отсюда находим характеристическое уравнение:
- •С-1; с-1.
- •С-1; с-1.
- •Решение
- •Напряжение между узлами 1 и 2 определяется как:
- •И подставим туда ток конденсатора (2.6.6):
- •Откуда характеристическое уравнение оду будет иметь вид:
- •2.8 Задачи для самостоятельного решения
- •3 Операторный метод расчета переходных процессов в линейных электрических цепях
- •3.1 Примеры расчета переходных процессов в цепях постоянного тока
- •Решение
- •Решение
- •3.2 Примеры расчета переходных процессов в цепях переменного тока
- •С-1; с-1;
- •По закону Ома для участка цепи определяем искомый операторный ток:
- •С-1; с-1;
- •4 Расчет переходных процессов с помощью интеграла дюамеля
- •4.1 Примеры расчета переходных и импульсных характеристик
- •Тогда по закону Ома в операторной форме определяем ток
- •Решение
- •С-1; с-1;
- •4.2 Примеры расчета переходных процессов с помощью интеграла Дюамеля
- •Решение
- •4.3 Задачи для самостоятельного решения
- •5 Расчет переходных процессов методом переменных состояния
- •5.1 Примеры расчета
- •Определим собственные значения матрицы a, т.Е. Корни уравнения
- •. Определим собственные значения матрицы a, т.Е. Корни уравнения
- •5.2 Задачи для самостоятельного решения
- •Список литературы
- •Содержание
- •Часть II
- •190008, Г.С.-Петербург, ул. Лоцманская, 3.
Тогда по закону Ома в операторной форме определяем ток
Для перехода к оригиналу этого тока найдем корни полинома знаменателя и его производную
Тогда в соответствии с теоремой разложения определяем искомый ток в функции времени:
А.
Как указывалось, переходную проводимость найдем, подставив в выражение для токавходное напряжение
См.
2) Расчет переходной функции по напряжению . По определению переходная функция – это напряжение между какими – либо двумя точками цепи при воздействии на схему напряжения с амплитудой 1 В. Т.е. в нашем случае – это выходное напряжениепри воздействии на схему входного напряженияс амплитудойТогда определим с помощью закона Ома напряжение
Приняв в этой записи напряжение единице, получаем переходную функцию по напряжению
Задача 4.1.4 На рис. 4.1.4.а представлена двухзвеннаяцепь (зажимыразомкнуты). Определить переходную и импульсную проводимость по току, а также переходную и импульсную функцию по выходному напряжениюПараметры цепи:Ом,Гн.
|
|
Рис. 4.1.4.а |
Рис. 4.1.4.б |
Решение
Решить данную задачу проще операторным методом для чего на рис. 4.1.4.а вычерчена операторная схема замещения. На вход цепи в зависимости от вида характеристики воздействуют единичная функция – или и дельта – функция –Для последних функций значения их сигнала приравно нулю, следовательно в данной цепи имеет место нулевые начальные условия.
1) Расчет переходных характеристик. При расчете переходных функций на вход цепи подают единичную функцию. Тогда в нашем случае входное напряжение , для которого операторное изображение по Лапласу имеет вид:
Теперь рассчитаем операторное изображение тока и выходного напряженияЦепь, представленная на рис. 4.1.4.б – это простая электрическая цепь, поэтому расчет схемы будем вести методом “свертки ветвей”. Найдем входное операторное сопротивление цепиотносительно зажимовучитывая холостой ход выходного напряжения(зажимыразомкнуты):
По закону Ома найдем входной операторный ток
С помощью метода “чужой ветви” определяем операторный ток
По закону Ома в операторной форме определяем напряжение для участка цепи между полюсами –
Далее определим оригиналы тока и напряжения на выходе цепи. Для этого найдем корни полинома знаменателя и его производную:
с-1;
с-1;
Тогда по теореме разложения находим ток
А.
Проверим правильность расчета тока путем подстановки в его выражение времени
Итак, первый закон коммутации удовлетворяется, следовательно, ток рассчитан верно.
Так как на входе цепи действует напряжение с амплитудой в 1 В, то переходная проводимость совпадает с током
См.
Аналогично определяем напряжение
В.
Тогда переходная функция по выходному напряжению имеет вид:
2) Расчет импульсных характеристик. Здесь на вход подается дельта – функция, поэтому напряжение
Импульсные характеристики цепи найдем по переходным характеристикам.
Импульсная проводимость:
Импульсная функция по напряжению:
с-1.
Задача 4.1.5 На рис. 4.1.5.а изображена двухзвеннаяцепь. Определить переходную и импульсную проводимость по току, а также переходную и импульсную функцию по напряжениюПараметры цепи:Ом,мкФ. Принять, что зажимыразомкнуты.
|
|
Рис. 4.1.5.а |
Рис. 4.1.5.б |
Решение
Задачу решим операторным методом, для чего на рис. 4.1.5.б приведена операторная схема замещения исходной цепи.
1) Определение переходных характеристик. В данном случае на схему воздействует единичная функция , для которой операторное изображение по Лапласу имеет вид:
Найдем ток и напряжение между узлами а и бв операторной схеме замещения. Для этого найдем входное операторное сопротивление цепи(выходные зажимы разомкнуты):
Тогда входной ток определиться как:
Теперь найдем ток с помощью метода “чужой ветви”:
По закону Ома определяем напряжение между узлами “а” и “б”:
Найдем корни полинома знаменателя и его производную:
с-1;
с-1;
По теореме разложения переходим от изображений временных функций к их оригиналам:
См;
Проверка найденного напряжения Приимеем:
Итак, второй закон коммутации соблюдается, значит расчет выполнен верно.
2) Расчет импульсных характеристик. Импульсные характеристики цепи найдем через переходные характеристики.
Импульсная проводимость:
Импульсная функция по напряжению:
с-1.
Задача 4.1.6Определить переходную функцию по выходному напряжениюмостовойцепи, приведенной на рис. 4.1.6.а. При расчетах принять, что зажимыразомкнуты. Параметры цепи:Ом,мкФ.
Решение
Решение основано на операторном методе расчета электрических цепей. На рис. 4.1.6.б вычерчена операторная схема замещения. Для расчета переходной функции по напряжению подадим на вход цепи напряжение в виде единичной функции, тогда входное напряжение определиться как:
Рассчитаем выходное напряжение для чего сначала на основании закона Ома в операторной форме определим токи в параллельных ветвях:
|
|
Рис. 4.1.6.а |
Рис. 4.1.6.б |
Составим уравнение по второму закону Кирхгофа для контура
откуда находим выходное напряжение
Найдем корни полинома знаменателя и его производную –