- •Министерство образования и науки Российской Федерации
- •Введение
- •Перечень условных обозначений
- •1 Основные теоретические положения
- •1.1. Физические основы переходных процессов
- •1.2 Математический аппарат и алгоритмы расчетов
- •1.2.1 Классический метод анализа переходного процесса
- •1.2.2 Операторный метод расчета (метод преобразования Лапласа)
- •1.2.3 Расчет методом интеграла Дюамеля
- •1.2.4 Метод переменных состояния переходных процессов
- •2 Классический метод расчета переходных процессов в линейных электрических цепях
- •2.1 Примеры расчета переходных процессов в цепях с индуктивностью
- •Имеет один отрицательный и действительный корень
- •Решение
- •И подставим его в первое уравнение системы:
- •Источника напряжения
- •Получим характеристическое уравнение
- •Решение
- •Первый способ
- •Решение
- •Ом; Ом.
- •Решение
- •Решение
- •И падение напряжение на индуктивности
- •Решение
- •Поэтому в соответствии с первым законом Кирхгофа для узла “1” ток в индуктивности, питаемый источником тока равен току в ветви с резистором: а.
- •Откуда составляем характеристическое уравнение:
- •Где ток в конденсаторе.
- •Отсюда находим характеристическое уравнение:
- •С-1; с-1.
- •С-1; с-1.
- •Решение
- •Напряжение между узлами 1 и 2 определяется как:
- •И подставим туда ток конденсатора (2.6.6):
- •Откуда характеристическое уравнение оду будет иметь вид:
- •2.8 Задачи для самостоятельного решения
- •3 Операторный метод расчета переходных процессов в линейных электрических цепях
- •3.1 Примеры расчета переходных процессов в цепях постоянного тока
- •Решение
- •Решение
- •3.2 Примеры расчета переходных процессов в цепях переменного тока
- •С-1; с-1;
- •По закону Ома для участка цепи определяем искомый операторный ток:
- •С-1; с-1;
- •4 Расчет переходных процессов с помощью интеграла дюамеля
- •4.1 Примеры расчета переходных и импульсных характеристик
- •Тогда по закону Ома в операторной форме определяем ток
- •Решение
- •С-1; с-1;
- •4.2 Примеры расчета переходных процессов с помощью интеграла Дюамеля
- •Решение
- •4.3 Задачи для самостоятельного решения
- •5 Расчет переходных процессов методом переменных состояния
- •5.1 Примеры расчета
- •Определим собственные значения матрицы a, т.Е. Корни уравнения
- •. Определим собственные значения матрицы a, т.Е. Корни уравнения
- •5.2 Задачи для самостоятельного решения
- •Список литературы
- •Содержание
- •Часть II
- •190008, Г.С.-Петербург, ул. Лоцманская, 3.
Решение
Операторная схема замещения представлена на рис. 3.1.7.б, в которой ток в катушке А в соответствии с докоммутационной схемой.
1) Составим исходную систему из двух алгебраических уравнений согласно схеме на рис. 3.1.7.б: первое – по первому закону
Сгруппируем слагаемые во втором уравнении системы:
Теперь подставим сюда операторный ток выраженный из первого уравнения исходной системы:
Откуда
Для нахождения оригинала найдем корень полинома знаменателя
с-1.
Найдем производную
По теореме разложения находим оригинал
А.
Определим по закону Кирхгофа операторный ток
Определим временную функцию тока согласно теореме разложения:
А.
Задача 3.1.8Решить задачу 2.7.1.
|
Решение Операторная схема замещения представлена на рис. 3.1.8., в которой А (см. задачу 2.7.1) На основании закона Ома в операторной форме находим операторный ток Для нахождения оригинала найдем корни полинома знаменателя: с-1. |
Рис. 3.1.8 |
Найдем производную полинома знаменателя:
В соответствии с теоремой разложения находим оригинал тока
А.
По закону Ома рассчитаем напряжение
По теореме разложения переходим от изображения к оригиналу – временной функции
В.
Задача 3.1.9 Решить задачу 2.4.2.
|
Решение Операторная схема замещения вычерчена на рис. 3.1.9.б с учетом встречного включения катушек. Здесь А. 2) Для операторной схемы замещения составляем исходную систему из трех уравнений, учитывая встречное включение катушек: первое – по первому закону Кирхгофа для узла “1”, второе – по второму закону для контура, содержащего источник ЭДС и катушку с индуктивностью третье – по второму закону Кирхгофа для замкнутого контура, содержащего катушки с индуктивностямии |
Рис. 3.1.9.а |
Определяем операторный токи иметодом Крамера:
Для нахождения оригиналов предварительно определим корни полинома знаменателя и его производную
с-1;
с-1;
Используя теорему разложения переходим от изображений токов к их временным функциям:
А;
А.
Окончательно запишем полученные временные функции токов:
А;
А.
Задача 3.1.10 Построить операторную схему замещения цепи с ненелевыми начальными условиями, изображенной на рис.3.1.10.а.
|
Решение Для заданной цепи составим систему из двух уравнений по второму закону для двух независимых контуров, учитывая встречное включение индуктивно связанных катушек: Теперь перейдем от мгновенных значений токов и напряжений к их операторным изображениям по Лапласу. При этом будем иметь в виду ненулевые начальные условия, т.е. для данной схемы это значения токов иТогда получим следующие алгебраические уравнения: Или |
Рис. 3.1.10.а | |
| |
Рис. 3.1.10.б |
По последним двум выражениям на рис. 3.1.10.б составлена операторная схема замещения.
3.2 Примеры расчета переходных процессов в цепях переменного тока
Задача 3.2.1В Цепи, представленной на рис. 3.2.1.а, в моментзамыкается ключ К и подключается источник синусоидального напряжения с ЭДСВ. Найти выражение напряжения на конденсатореИзвестно:В,с-1,Ом,Ом,мкФ.
|
Решение 1) В цепи нулевые начальные условия: Тогда операторная схема замещения примет вид, как показано на рис. 3.2.1.б. Здесь изображение синусоидальной ЭДС с начальной фазойимеет вид: Операторное изображение входного тока определим с помощью закона Ома, составленного в операторной форме: |
Рис. 3.2.1.а | |
| |
Рис.3.2.1.б |
Тогда операторное изображение напряжение между обкладками конденсатора определим как произведение входного операторного тока на эквивалентное операторное сопротивление между узлами “1” и “2” –
Для нахождения оригинала напряжения на конденсаторе найдем корни полинома знаменателя и его производную: