- •Министерство образования и науки Российской Федерации
- •Введение
- •Перечень условных обозначений
- •1 Основные теоретические положения
- •1.1. Физические основы переходных процессов
- •1.2 Математический аппарат и алгоритмы расчетов
- •1.2.1 Классический метод анализа переходного процесса
- •1.2.2 Операторный метод расчета (метод преобразования Лапласа)
- •1.2.3 Расчет методом интеграла Дюамеля
- •1.2.4 Метод переменных состояния переходных процессов
- •2 Классический метод расчета переходных процессов в линейных электрических цепях
- •2.1 Примеры расчета переходных процессов в цепях с индуктивностью
- •Имеет один отрицательный и действительный корень
- •Решение
- •И подставим его в первое уравнение системы:
- •Источника напряжения
- •Получим характеристическое уравнение
- •Решение
- •Первый способ
- •Решение
- •Ом; Ом.
- •Решение
- •Решение
- •И падение напряжение на индуктивности
- •Решение
- •Поэтому в соответствии с первым законом Кирхгофа для узла “1” ток в индуктивности, питаемый источником тока равен току в ветви с резистором: а.
- •Откуда составляем характеристическое уравнение:
- •Где ток в конденсаторе.
- •Отсюда находим характеристическое уравнение:
- •С-1; с-1.
- •С-1; с-1.
- •Решение
- •Напряжение между узлами 1 и 2 определяется как:
- •И подставим туда ток конденсатора (2.6.6):
- •Откуда характеристическое уравнение оду будет иметь вид:
- •2.8 Задачи для самостоятельного решения
- •3 Операторный метод расчета переходных процессов в линейных электрических цепях
- •3.1 Примеры расчета переходных процессов в цепях постоянного тока
- •Решение
- •Решение
- •3.2 Примеры расчета переходных процессов в цепях переменного тока
- •С-1; с-1;
- •По закону Ома для участка цепи определяем искомый операторный ток:
- •С-1; с-1;
- •4 Расчет переходных процессов с помощью интеграла дюамеля
- •4.1 Примеры расчета переходных и импульсных характеристик
- •Тогда по закону Ома в операторной форме определяем ток
- •Решение
- •С-1; с-1;
- •4.2 Примеры расчета переходных процессов с помощью интеграла Дюамеля
- •Решение
- •4.3 Задачи для самостоятельного решения
- •5 Расчет переходных процессов методом переменных состояния
- •5.1 Примеры расчета
- •Определим собственные значения матрицы a, т.Е. Корни уравнения
- •. Определим собственные значения матрицы a, т.Е. Корни уравнения
- •5.2 Задачи для самостоятельного решения
- •Список литературы
- •Содержание
- •Часть II
- •190008, Г.С.-Петербург, ул. Лоцманская, 3.
С-1; с-1;
По теореме разложения находим закон изменения напряжения на конденсаторе в функции времени –
В.
Итак,
В.
Проверка: подставим в последнее выражение:
Т.е. нулевые начальные условия соблюдаются, значит задача решена верно.
Задача 3.2.2В моментпроисходит подключение пассивного двухполюсника (ПД) с нулевыми начальными условиями, представленного на рис. 3.2.2.а, к источнику синусоидального напряженияВ. При этом в цепи ток источника изменяется по законуА. Найти ток источникапри подключении к этому же двухполюснику источника постоянного напряженияВ. Определить схему и параметры ПД.
Решение 1) Используя таблицу соответствия между оригиналами и изображениями по Лапласу найдем операторные изображения синусоидального и постоянного источника напряжения а также входного тока ПД | |
Рис. 3.2.2.а |
Тогда определим операторное сопротивление ПД:
2) Определим операторный ток при включении источника постоянного напряжения:
Определим корни полинома знаменателя
с-1.
Прейдем от операторного изображения этого тока к его оригиналу по формуле разложения:
А,
где производная полинома знаменателя по
3) Определение параметров ПД. Так как по условию задачи на схему воздействует синусоидальное напряжение с начальной фазой и принужденный ток от этого воздействия имеет начальную фазузначит сдвиг фаз между ними
Следовательно, входное сопротивление ПД носит активно – индуктивный характер.
Используя найденный входной ток определим параметры ПД. Его значение прине равно нулю:
А.
Найденный ток имеет один корень отрицательный корень характеристического уравненияс-1, значит ПД имеет лишь один накопитель энергии – катушку индуктивности. Кроме того по условию задачи имеются нулевые начальные условия, т.е. ток в катушке в момент коммутации равен нулю. Учитывая приведенные в пункте 3 рассуждения выберем схему ПД, как показано на рис. 3.2.2.б.
При на основании закона Ома можно записать: следовательно Ом. В установившимся режиме когда токА катушка закорочена, поэтому | |
Рис. 3.2.2.б |
Ом.
Используя ранее составленное соотношение находим сопротивление резистора
Ом.
Операторная схему замещения ПД при воздействии на него постоянного напряжения изображена на рис. 3.2.2.в. Запишем Закон Ома в операторной форме для этой схемы при Запишем условие равенства полинома знаменателя нулю: | |
Рис. 3.2.2.в |
При известном корне с-1полиномесли
Тогда
Гн.
Задача 3.2.3 Решить задачу 2.6.2 операторным методом.
Решение Найдем только свободные составляющие искомых временных функций, а их полные решения представим в виде суммы принужденных и свободных составляющих. При этом принужденные составляющие возьмем из решения задачи 2.6.2. Операторная схема замещения приведена на рис. 3.2.3, для которой А; | |
Рис. 3.2.3 |
В.
1) Составляем исходную систему из трех алгебраических уравнений, составленных по первому и второму законам Кирхгофа:
Решим эту систему уравнений методом Крамера, для чего определим главный определитель и его алгебраические дополнения:
Тогда операторный ток
Определим корни полинома знаменателя и его производную –
с-1;
По теореме разложения определяем временную функция этого тока:
Найдем операторное напряжение . Так как по закону Ома
то второе уравнение исходной системы уравнений можно записать следующим образом:
откуда
По теореме разложения определяем оригинал –
В.
Теперь запишем полные временные функции:
А;
В.
Задача 3.2.4 Цепь, представленная на рис. 3.2.4.а, питается от источника синусоидального напряжения с ЭДСВ (частотас-1). В моментпроисходит замыкание ключа К, в результате которого шунтируется резисторОпределить ток в индуктивностии напряжение на конденсатореесли заданы следующие параметры цепи:Ом,Ом,Ом,Ом,Ф.
|
|
Рис. 3.2.4.а |
Рис. 3.2.4.б |
Решение
Расчет будем вести для свободных составляющих, а принужденные составляющие рассчитаем символическим методом.
Определим реактивные сопротивления приемников:
Ом;
Ом.
1) Рассчитаем схему до коммутации с целью определения независимых начальных условий. Эта схема изображена на рис. 3.2.4.б. Воспользуемся символическим методом и найдем комплексное эквивалентное сопротивление:
Ом.
По закону Ома определяем комплекс тока в ветви с источником ЭДС:
А.
Найдем комплекс напряжения между обкладками конденсатора:
В.
Перейдем от комплексных изображений к оригиналам:
А;
В.
На основании законов коммутации получаем следующие независимые начальные условия:
А;
В.
|
2) Послекоммутационная схема приведена на рис. 3.2.4.в. Расчет этой схемы аналогичен расчету цепи, представленной на рис. 3.2.4.б: Ом; А; |
Рис. 3.2.4.в |
В.
Тогда запишем временные функции:
А;В.
3) Операторная схема замещения вычерчена на рис. 3.2.4.г, для которой имеем: В. Для схемы, приведенной на рис. 5.2.4.г, составляем исходную систему из трех | |
Рис. 3.2.4.г |
алгебраических уравнений в соответствии с законами Кирхгофа:
Решим эту систему уравнений методом Крамера, для чего определим главный определитель и его алгебраические дополнения:
Тогда операторные токи
По закону Ома операторное напряжение
Определим корни полинома знаменателяи его производную –
с-1;
с-1;
По теореме разложения определяем искомые временные функции:
Теперь запишем полные временные функции:
А;
В.
Проверка: при получаем:
А;
В,
Эти значения соответствуют независимым начальным условиям, что говорит о достоверности полученных результатов.
Задача 3.2.5Решить задачу 2.3.11 операторным методом.
|
Решение 1) Операторная схема замещения приведена на рис. 3.2.5, для которой – начальное значение тока в катушке индуктивности, А; – изображение по Лапласу синусоидальной ЭДСопределяемое по таблицам соответствия оригиналов и изображений, 2) Операторный ток легче всего |
Рис. 3.2.5 |
найти используя метод “двух узлов”. Для этого найдем операторное напряжение между узлами “2” и “1” – , и затем по закону Ома найдем искомый операторный ток.
Согласно указанному алгоритму определяем узловое напряжение , положительное направление которого показано на рис. 3.2.5: