- •Дисциплина «Физика» список литературы
- •Дополнительная
- •2. Учебные пособия
- •I. Учебная программа
- •Лекция №1
- •1. Современная картина строения физического мира.
- •1.5.Практическое использование элементарных частиц
- •1.1. Понятие о векторах и простейших действиях над ними
- •3.Метод размерных оценок в задачах физики
- •3.1. Введение в теорию размерных оценок. Преобразования подобия. Аффинные преобразования
- •3.2. Размерность и ее анализ. Алгоритм поиска размерных оценок
- •1.Размерность произвольной физической величины может быть лишь произведением степеней размерностей величин, принятых за основные.
- •2.Размерности обеих частей равенства, отражающего некоторую физическую закономерность, должны быть одинаковы.
- •3.3. Применение размерных оценок в механике. Примеры иллюстрации алгоритма для струны и маятника.
- •5. Мгновенная угловая скорость.
- •6. Связь линейной и угловой скоростей.
- •7. Модуль и направление углового ускорения.
- •8. Связь тангенциального и углового ускорения.
- •9. Мгновенное угловое ускорение.
- •5. Работа и энергия. Закон сохранения энергии
- •5.1. Работа и кинетическая энергия
- •5.2. Потенциальная энергия материальной точки во внешнем
- •5.3. О законе сохранения энергии и непотенциальных силах
- •5.4. Простые примеры
- •5.5. Равновесие и устойчивость
- •6.1. Особенности движения замкнутой системы из двух взаимодействующих материальных точек. Приведенная масса
- •6.2. Центр масс системы материальных точек
- •6.3. Потенциальная энергия взаимодействия. Закон сохранения
- •6.5. Упругие и неупругие соударения
- •Лекция 4
- •2. Избранные вопросы классической механики
- •2.1. Некоторые положения механики Ньютона.
- •2.2. Принципы механики Лагранжа.
- •2.3. Принцип Гамильтона.
- •7.1. Момент импульса и момент силы
- •7.3. Вращение абсолютно твердого тела вокруг неподвижной оси
- •Динамика твердого тела.
- •Свойства симметрии и законы сохранения. Сохранение энергии.
- •Сохранение импульса.
- •Сохранение момента импульса.
- •9.1. Принцип относительности Галилея
- •9.2. Законы механики в неинерциальных системах отсчета.
- •Некоторые задачи механики. Движение частицы в центральном поле сил.
- •2. Основные физические свойства и параметры жидкости. Силы и напряжения.
- •2.1. Плотность.
- •2.2. Вязкость.
- •2.3. Классификация сил.
- •2.3.1. Массовые силы.
- •2.3.2. Поверхностные силы.
- •2.3.3. Тензор напряжения.
- •8.3. Течение идеальной жидкости. Уравнение непрерывности
- •8.4. Архимедова сила. Уравнение Бернулли
- •8.5. Вязкость. Течение Пуазейля
- •1.4.1. Поток векторного поля.
- •2.3.4. Уравнение движения в напряжениях.
- •Уравнение Эйлера и Навье-Стока.
- •Специальная теория относительности.
- •10. Введение в релятивистскую механику
- •10.1. Постоянство скорости света для всех систем отсчета.
- •10.2. Следствия из преобразований Лоренца. Сокращение длины и замедление времени
- •10.3. Импульс и энергия в релятивистской механике
- •Относительность одновременности событий
- •Зависимость массы тела от скорости
- •Закон взаимосвязи массы и энергии
- •4.1.5. Релятивистская механика материальной точки
- •1.3. Фундаментальные взаимодействия
- •1.4. Стандартная модель и перспективы
- •1.1. Фермионы
- •1.2. Векторные бозоны
- •11.Элементарные частицы
- •11.1. Основные понятия и законы
- •11.1.1.Виды взаимодействий
- •11.1.2.Законы сохранения
- •11.2.Примеры решения задач
- •12.1. Основные свойства элементарных частиц.
- •12.2. Законы сохранения в микромире
- •12.3. Кварковая структура адронов
- •12.4. Электрослабое взаимодействие
- •Физика в конспективном изложении Содержание:
- •1. Вводные сведения - 6
- •Электричество – 49
- •9. Постоянное электрическое поле – 49
- •9.13.4.2. Теорема Гаусса для вектора - 78 10. Постоянный электрический ток – 79
- •10.7. Закон Ома для неоднородного участка цепи – 82 Магнетизм. Уравнения Максвелла – 83
- •11. Магнитное поле в вакууме – 83
- •11.11.3.1. Плотность энергии магнитного поля – 103 12. Магнитное поле в веществе – 103
- •Предисловие
- •1. Вводные сведения
- •1.1. Предсказание будущего - задача науки
- •1.2. Предмет физики
- •1.3. Физическая модель
- •1.4. Язык физики?
- •1.5. Экспериментальная и теоретическая физика
- •Физические основы механики
- •3.1.3. Абсолютно твердое тело
- •3.2. Тело отсчета
- •3.3. Система отсчета
- •3.4. Положение материальной точки в пространстве
- •3.10.1. Нормальное и тангенциальное ускорение
- •4. Динамика материальной точки
- •4.6.1. Система си (System international)
- •4.6.1.1. Размерность силы
- •5.3. Работа
- •5.6.1. Консервативность силы тяжести
- •5.6.2. Неконсервативность силы трения
- •5.7. Потенциальная энергия может быть введена только для поля консервативных сил
- •5.8.Закон сохранения механической энергии
- •6. Кинематика вращательного движения
- •6.1. Поступательное и вращательное движение
- •6.2. Псевдовектор бесконечно малого поворота
- •6.5. Связь линейной скорости материальной точки твердого тела и угловой скорости
- •8. Элементы специальной теории относительности
- •8.2. Принцип относительности Галилея:
- •8.3. Неудовлетворительность механики Ньютона при больших скоростях
- •8.5.1. Вывод преобразований Лоренца
- •8.6. Следствия из преобразований Лоренца
- •9.3. Электрическое поле
- •9.3.6. Принцип суперпозиции электрических полей
- •9.3.7. Напряженность поля точечного заряда
- •9.3.8. Линии напряженности
- •9.3.9. Линии напряженности точечных зарядов
- •9.4.4.1. Поле равномерно заряженной бесконечной плоскости
- •9.4.4.3. Поле однородно заряженного бесконечного цилиндра
- •9.9. Проводник в электрическом поле
- •9.10. Электроемкость уединенного проводника
- •9.11. Электроемкость конденсатора
- •9.12. Энергия электрического поля
- •9.12.1. Плотность энергии электрического поля в вакууме
- •9.13. Электрическое поле в диэлектрике
- •9.13.1. Диэлектрик?
- •9.13.1.1. Два типа диэлектриков - полярные и неполярные
- •9.13.2. Поляризованность диэлектрика (вектор поляризации) - это дипольный момент единицы объема:
- •9.13.4.1. Плотность энергии электрического поля в диэлектрике
- •10.4. Закон Ома для участка цепи
- •10.5. Закон Ома в дифференциальной форме
- •10.6. Закон Джоуля-Ленца в дифференциальной форме
- •Магнетизм. Уравнения Максвелла
- •11.5.6. Магнитное поле тороида
- •11.6. Закон Ампера
- •11.7. Сила Лоренца - это сила, действующая со стороны магнитного поля на движущийся в нем заряд
- •11.7.1. Движение заряженной частицы в однородном магнитном поле
- •11.8. Рамка с током в магнитном поле
- •11.11.1. Потокосцепление
- •11.11.2. Индуктивность соленоида
- •11.11.3. Энергия магнитного поля
- •12. Магнитное поле в веществе
- •12.2. Классификация магнетиков
- •13. Уравнения Максвелла
- •13.3. Система уравнений Максвелла в интегральной форме
- •13.4. Система уравнений Максвелла в дифференциальной форме
5.2. Потенциальная энергия материальной точки во внешнем
силовом поле. Закон сохранения энергии
Наряду с кинетической энергией важную роль в механике играет понятие потенциальной энергии, которое также тесно связано с понятием работы. Но если кинетическая энергия материальной точки определяется, наряду с массой, модулем ее скорости, то потенциальная энергия, как мы увидим, зависит от положения тела в пространстве.
Как и при обсуждении свойств кинетической энергии, мы будем пока рассматривать движение одной материальной точки под действием заданной силы. Если задана векторная функция точки пространства F(r), то ее называют силовым полем. ФункцияF(r), во-первых, не должна зависеть от скорости тела (ни от величины, ни от направления), во-вторых, она должна быть постоянна во времени, и в-третьих, работа в данном силовом поле по любому замкнутому пути должна обращаться в нуль
(см. рис. 5.4), что математически записывается следующим образом:
F(r) dr = 0. (5.12)
Такие силы (силовые поля) называют консервативными; для них и только
для них может быть введено понятие потенциальной энергии.
Примем условно какое-либо произвольное положение материальной точки за начальное (радиус-вектор этого положения в выбранной системе координат обозначим го). Тогда
Рис. 5.4
потенциальной энергией U(r) материальной точки, положение которой по отношению к выбранной системе координат определяется радиусом-векторомr, называется работа, совершаемая действующей на эту материальную точку результирующей силой, при перемещении материальной точки из положенияrв начальное положение:
U(r) = А(r -» r0).(5.13)
Корректность такого определения следует из условия консервативности
(5.12). В самом деле (см. рис. 5.4), если
F(r) dr=0,
то
F(r) dr = - F(r) dr
при следовании в одном и том же направлении вдоль контура С. Заменим направление следования (т. е. движения) в любом из этих направлений на противоположное. Как следствие, получаем, что работа при перемещении между точками 0 и 1 не зависит от выбора пути, по которому оно происходит:
F(r) dr = inv.
Но это как раз и означает, что потенциальная энергия (5.13) определена
однозначным образом как функция координат.
Проиллюстрируем наше определение важным примером. Опыт показывает, что силы взаимодействия двух изолированных материальных точек зачастую направлены вдоль соединяющей их прямой и по модулю зависят только от расстояния между ними.
Такие силы называются центральными. Примером может служить сила гравитационного взаимодействия Солнца с планетой, если их рассматривать как точечные массы, или
сила электростатического взаимодействия двух точечных зарядов.
Рассмотрим движение материальной точки под действием центральной силы, направленной, например, от одного и того же центра О и по модулю зависящей только от расстояния до него (рис. 5.5). Покажем, что работа при перемещении материальной точки из положения 1 в положение 2 по двум произвольным путям а и б одинакова, то есть от формы пути не зависит.
Для доказательства проведем из центра О концентрические сферические
поверхности, радиусы которых отличаются на бесконечно малую величину dR. Эти поверхности рассекут обе наши траектории а и б на бесконечно малые отрезки пути. Бесконечно малые отрезки криволинейной траектории можно заменить на бесконечно малые прямолинейные векторы перемещений: на рисунке эти векторы перемещений между сферой с радиусом R и сферой с радиусом R+dR по траекториям а и б обозначены через draи drbсоответственно.
Докажем сначала, что работа δАавдоль перемещения draравна работе δАbdrbвдоль перемещения drв. В соответствии с определением (5.2) получаем для δАа:
δAa = F(R) dracosα = F(R) dR. (5.14)
Аналогично получаем для dAв:
δAb= F(R) drbcosβ = F(R) dR.(5.15)
В написанных выше формулах угол α обозначает, как показано на рисунке, угол между силой F(r) и перемещением dra, а угол β — угол между F(r) и drb. Кроме того, мы использовали равенства
dra cos α = drbcos β = dR.
Повторяя вышеприведенные рассуждения для всех отрезков пути а и пути б между соседними сферическими поверхностями, мы получим, что элементарные работы δA на всех этих отрезках равны, а, следовательно, равны и суммарные работы на путях а , б. Так как пути а , б были выбраны произвольно, то это означает, что работа, совершаемая при перемещении материальной точки центральной силой, не зависит от формы пути, а
зависит только от начального и конечного положения этой материальной точки.
Представим себе теперь, что на заданную материальную точку действуют силы со стороны N других материальных точек, причем все эти силы F1, F2, ... FNявляются центральными. Результирующая сила, действующая на заданную материальную точку уже не является центральной — в разных точках пространства она не будет направлена к какому либо одному и тому же центру (для наглядности на рис. 5.6
изображен случай, когда на материальную точку массы mдействуют две центральные силы гравитационного притяжения со стороны двух материальных точек с массами m1иm2).
Для дальнейших рассуждений воспользуемся тем фактом, что результирующая сила Fрравна векторной сумме составляющих ее сил F1, F2, ... FN.
Рис. 5.6.
Это заранее не очевидное свойство сил, получило название принципа суперпозиции сил . Следовательно справедливо соотношение:
N
Fp = ∑Fi,(5.16)
i=1
тогда элементарная работа при перемещении материальной точки на величину dr при действии результирующей силы Fрможет быть записана согласно определению (5.2) в виде
N N
δАр = Fр dr = ∑Fi dr = ∑δAi (5.17) i=1 i=1
где δAi— элементарная работа, совершаемая центральной силой Fi. Отсюда
для полной работы Аррезультирующей силы при перемещении из некоторой
точки 1 в точку 2 получаем:
Ар= dAp = dAi =
Ai = А1 + А2 + ... + AN. (5.18)
Каждая из работ A1, A2, ... АNсовершается центральной силой и поэтому
не зависит от пути. Следовательно и работа Арне зависит от пути.
Вернемся к определению потенциальной энергии (5.13):
U(r) = А(r —>> r0).
Так как работа не зависит от пути, то после выбора какого-либо нулевого положения rопотенциальная энергия однозначно зависит только от положения материальной точки в пространстве. Что касается выбора нулевого положения, то этот выбор определяется соображениями удобства решения конкретной механической задачи.
Произвол в выборе нулевого положения приводит к тому, что потенциальная энергия определена с точностью до произвольной константы. В самом деле, вычтем из потенциальной энергии при одном выборе начального положения
U (r) = А (r —> г0)
потенциальную энергию при другом выборе начального положения
U'(r) = А (r —>> r'0):
U(r) - U'(r) = А(r-> r0) - А(r-> r'0). (5.19)
Так как работа не зависит от пути, то справедливо соотношение
А(r->r0) = A(r->r'0)+А(r'0 ->r0).
Подставляя это равенство в (5.19), получаем
U (r) = U'(r) + A(r'0 —> r0),
то есть изменение нулевого положения действительно приводит к изменению потенциальной энергии на величину А(r'0—>r0), не зависящую отr— положения материальной точки в пространстве.
Сумма кинетической и потенциальной энергий называется полной энергией материальной точки и обозначается обычно буквой Е:
E(r) =T(r) + U(r).(5.20)
Покажем, что при движении материальной точки в поле консервативных
сил или, что то же, в потенциальном поле ее полная энергия не меняется.
Для этого воспользуемся соотношением, связывающим бесконечно малое
изменение кинетической энергии с работой:
dT = Fdr = δA.(5.21)
Это равенство справедливо для движения под действием любой силы, а не
только потенциальной. Но лишь в этом последнем случае его правую часть
можно выразить через изменение потенциальной энергии:
dU = U(r + dr) - U(r) = A(r + dr -> r0) - A(r -> r0). (5.22)
Так как работа в случае потенциальной силы не зависит от пути, то
А(r ->> r0) = А(r ->> r + dr) + А(r + dr ->> r0).
С учетом этого равенства соотношение (5.22) можно записать в виде
dU = -А(r -> r + dr) = -δА.
Подставляя полученный результат в (5.21), приходим к равенству
dT = -dU,
d(T + U)=0,
dE = 0.
Дифференциал (бесконечно малое приращение) любой функуции равен нулю, если эта функция является константой, то есть мы получили
Е(r) = Т(r) + U(r) = const. (5.23)
Это соотношение выражает закон сохранения энергии.
Укажем еще одно весьма полезное формальное следствие равенства (5.22).
Предположим вначале ради упрощения выкладок, что либо потенциальная энергия зависит только от одной координаты, либо движение происходит лишь вдоль одной координаты. В обоих этих случаях можем положить U = U(x). Соответственно, в элементе работы δА существенна лишь компонента силы Fx (с учетом ее знака). Положив
δА = Fx dx,
получаем
Fx = -dU/dx. (5.24)
В качестве примера приведем выражение для потенциальной энергии деформированной пружины. При малых деформациях связь между силой и смещением, как известно, линейна:
F = - кх,
что соответствует квадратичной зависимости для потенциальной энергии:
U = -кх2/2.
В принципе ту же операцию мы можем провести и в общем трехмерном случае. Рассматривая малые перемещения вдоль осей Оx, Оу, Oz, мы получим три дополняющих друг друга соотношения:
Входящие в них производные по одной координате при фиксированных остальных называются в математике частными производными и обозначаются ∂/∂х и т. д. Таким образом, вектор силы F в компонентах может быть
представлен следующим образом:
Fx = -(dU/dх), Fy = -(dU/dу), Fz = -(dU/dz). (5.25)
Эти соотношения имеют более общий характер, нежели сама ньютонова механика. В практическом отношении они удобны для вычисления силы, если известна потенциальная энергия как функция координат.
Соотношения (5.25) можно представить в компактной форме, введя формально вектор
который в математике называется градиентом. Мы еще неоднократно встретимся с такими операторами в разделе «Электричество и магнетизм». Такой формализм позволяет переписать (5.25) в предельно коротком виде:
F = - U.