Динамика твердого тела.

Рассмотрим абсолютно твердое тело, которое может совершать только вращательное движение вокруг неподвижной оси. Для описания движения удобно использовать зависимость угла поворота от времени. Закон изменения угла поворота от времени и характеризует вращательное движение твердого тела.

В прямоугольной системе координат когда ось z совпадает с осью вращения тела представим тело как систему материальных точек и найдем проекцию на ось вращения вектора момента импульса.

z

По определению момент импульса системы равен сумме моментов элементарных масс

;

Проекция на ось вращения, аналогично

- момент импульса.

Используя зависимость для каждой элементарной массы

;

И скорости в этой точке

Угловая скорость по определению



Угловое ускорение

^^

Записывая векторное произведение в матричной форме с учетом того, что вектор угловой скорости направлен по оси вращения z получим

Проекции вектора момента импульса одной из частей тела можно найти по формуле

;

Проекция этого вектора на ось вращения будет

;

Или

L = mr^;

где ,

L_z = m R²

L_iz = m_i R²_i 

L = L_iz = ∑m_i R²_i 

I – момент инерции ( относительно оси Z )

а

;

I – момент инерции

Интегральна формула для центра инерции

Выражение для момента импульса можно записать в форме

L = I;

Момент силы для точки

;

Известно

dL / d =  M_i

d

; - основное уравнение вращательного движения твердого тела

Для производной момента импульса справедливо выражение

L^/ = M ;

Для проекции на ось вращения

L_z^/ = M_z

Основное уравнение вращательного движения можно записать

I^M_z

( для вращательного движения)

Аналогия с законом Ньютона

mx^// = F

( закон Ньютона )

Эквивалент инерционных свойств при вращении обеспечивает момент инерции.

Запишем выражение для кинетической энергии вращательного движения при вращении тела вокруг оси, проходящей через центр масс

=mv²/2 = m(ωr)²/2 =mr²ω²/2 =I ω²/2

Кинетическая энергия движущегося и вращающегося относительно центра масс тела равна сумме кинетических энергий движения и вращения

;

Работа тела при вращении определяется по формуле

A = M Fl Fr

Теорема Штейнера.

В случае когда ось, относительно которой вычисляется момент инерции не совпадает с центром симметрии для облегчения расчетов используют теорему Штейнера.

Теорема Штейнера или теорема о параллельных осях. Момент инерции тела относительно некоторой оси равен моменту инерции этого тела относительно параллельной оси, проходящей через центр масс тела, плюс произвеление массы тела на квадрат расстояния между осями

I = I_c + mr_c² – теорема Штейнера.

Построим ось z' , которая проходит через центр масс тела С параллельно оси z, и введем перпендикулярный к этим осям вектор r_c, соединяющий точку вращения и центр масс. Модуль этого вектора –расстояние между осями.

R_i^/ -вектор, соединяющий цент масс с частицей, для которой вычисляется момент инерции.

z z'

R_i R_i'

О С

r_c

связь между векторами

R_i = R_i^/ + r_c

по определению центра масс тела имеем

m_iR_i = mr_c

Или подставляя уравнение связи векторов

m_i ( R_i^/ + r_c ) = mr_c

Преобразование дает

m_iR_i^/ + m_ir_c = mr_c

Или учитыва сумму элементарных масс тела

m_iR_i^/ + mr_c = mr_c

Откуда следует

m_iR_i^/ = 0

Момент инерции относительно выбранной оси

I = m_iR_i² = m_i ( R_i^/ + r_c )² = m_iR_i^{/ 2} + 2 m_iR_i^/ r_c + m_ir_c² = I_c + mr_c²

I = I_c + mr_c² – теорема Штейнера.

Кинетическая энергия вращающегося тела

Для скорости точки тела имеем формулу Эйлера

V_i = V_A + [r_i]

По определению кинетическая энергия равна

T = m_i V_i² = 0.5 m_i(V_A + [r_i] ) ² – кинетическая энергия.

Динамика вращательного движения

1. Момент инерции материальной точки,

Момент инерции м.т. () относительно полюса – скалярная величина, равная произведению массы этой точки на квадрат расстояния до полюса:

(1)

(2)

2. Момент инерции системы материальных точек

Тело можно представить состоящим из большого числа м.т., тогда момент инерции системы м.т. равен:

, (3)

где - массаi - ой м.т.

- ее расстояние до полюса О.

Моментом инерции системы м.т. или тела относительно полюса называют алгебраическую сумму произведений масс м.т., из которых состоит тело, на квадрат расстояния их до полюса О.

3. Теорема Штейнера

Для установления связи между моментом инерции тел относительно двух параллельных осей применяется теорема Штейнера:

(4)

где - момент инерции относительно новой оси

- момент инерции относительно центра масс

d – расстояние между осями

4. Таблица моментов инерции некоторых твердых тел

(ось проходит через геометрический центр тел)

тело	рисунок	момент инерции
Однородный стержень		Относительно края стержня:
Сплошной цилиндр радиуса R.
Однородный диск
Тонкое кольцо радиуса R.
Полый цилиндр с внутренним rи внешнимRрадиусами
Тонкое кольцо радиусом Rи ширеннойd
Сплошной шар	_
Сфера	_

5. Момент силы,

Вектором момента силы относительно полюса называют векторное произведение радиус-вектора и вектора силы:

(5)

Направление вектора момента силы находится по правилу правого винта (см. рис): перенесем векторпараллельно самому себе так, чтобы совпадали начала векторови. Если вращать головку винта в направлении от векторак вектору, то поступательное движение винта укажет направление вектора момента силы.

Модуль вектора момента силы равен:

, (6)

где - угол между радиус-вектором и линией действия силы.

Момент равнодействующей силы относительно полюса О равен геометрической сумме векторов моментов составляющих сил относительно того же полюса:

(7)

или

(8)

6. Момент импульса материальной точки,

Вектором момента импульса м.т. относительно полюса О называют векторное произведение радиус – вектора и вектора импульса относительно этого же полюса.

Радиус-вектор проводится от полюса О до м. т.

(9)

Направление вектора момента импульса находится по правилу правого винта и совпадает с вектором угловой скорости.

Если учесть, что , тогда момент импульса равен:

или

(10)

Момент количества движения твердого тела относительно оси вращения равен произведению момента инерции тела относительно той же оси на угловую скорость.

Модуль вектора момента импульса равен:

, (11)

Вектор момента импульса системы м.т. от-но полюса О равен геометрической сумме векторов моментов импульса, действующих на каждую точку в отдельности от-но того же полюса О:

(12)

или

(13)

7. Связь вектора момента силы и момента импульса

Продифференцируем (10) по времени:

(14)

Т.к. полюс неподвижен, то первое слагаемое равно нулю (т.к. первая производная перемещения по времени равна скорости). Тогда коллинеарны, а произведение коллинеарных векторов равно нулю.

Поэтому

(15)

Согласно IIзакону Ньютона

, (16)

значит (15) будет иметь вид:

или

(17)

Выражение (17) устанавливает связь между и.

связь между и

- производная вектора момента импульса по времени относительно неподвижного полюса равна вектору момента силы, действующей на эту м.т. относительно того же полюса

8. Связь момента инерции, момента силы и момента импульса и ЗСМИ

При вращении м.т. вокруг неподвижной оси выполняется условие:

Если Iизменяется со временем, то получим:

или

(18)

Если , то

(19)

- основное уравнение динамики вращательного движения

Закон сохранения момента количества движения: в замкнутой системе тел суммарный вектор момента импульса остается неизменным.

(20)

- закон сохранения момента количества движения

Закон сохранения момента импульса выполняется, например, при движении планет по эллиптическим орбитам вокруг Солнца (второй закон Кеплера).

Пример, иллюстрирующий справедливость ЗСМИ связан с насаживанием дисков на ось:

9. Работа, совершаемая телом при вращении.

Если м.т. вращается по окружности, то на нее действует сила, то при повороте на некоторый угол совершается элементарная работа:

, где

(21)

(22)

Если действующая сила является потенциальной, то

, (23)

тогда (24)

(25)

10. Мощность при вращении

Мгновенная мощность, развиваемая при вращении тела:

11. Кинетическая энергия вращающегося тела

Кинетическая энергия материальной точки . Кинетическая энергияsisматериальных точек. Т.к., получим выражение кинетической энергии вращения:

(26)

При плоском движении (цилиндр скатывается по наклонной плоскости) полная скорость равна:

, (27)

где - скорость центра масс цилиндра.

Полная равна сумме кинетической энергии поступательного движения его центра масс и кинетической энергии вращательного движения тела относительно центра масс, т.е.:

(28)

Заключение:

А теперь, рассмотрев весь лекционный материал, подведем итог, сопоставим величины и уравнения вращательного и поступательного движения тела:

Поступательное движение		Вращательное движение
Масса	m	Момент инерции	I
Путь	S	Угол поворота
Скорость		Угловая скорость
Импульс		Момент импульса
Ускорение		Угловое ускорение
Равнодействующая внешних сил	F	Сумма моментов внешних сил	M
Основное уравнение динамики		Основное уравнение динамики
Работа	Fds	Работа вращения
Кинетическая энергия		Кинетическая энергия вращения

Приложение 1:

Пример:

Человек стоит в центре скамьи Жуковского и вместе с ней вращается по инерции. Частота вращения n₁=0,5 c^-1. Момент инерции j_o тела человека относи-

Рис. 3.5

тельно оси вращения равен 1,6 кг м². В вытянутых в стороны руках человек держит по гире массой m=2 кг каждая. Расстояние между гирями l₁=l,6 м. Опре­делить частоту вращения n₂, скамьи с человеком, когда он опустит руки и расстояние l₂ между гирями станет равным 0,4 м. Моментом инерции скамьи пренебречь.

II.